banach空間中一類反向混合單調(diào)算子的不動點(diǎn)定理

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1、第33卷/第2期/河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)/自然科學(xué)版/Vol.33No.22009年3月JOURNALOFHEBEINORMALUNIVERSITY/NaturalScienceEdition/Mar.2009Banach空間中一類反向混合單調(diào)算子的不動點(diǎn)定理X徐華偉(商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南商丘476000)摘要:運(yùn)用錐與半序理論和非對稱迭代方法,討論半序Banach空間一類反向混合單調(diào)算子方程解的存在唯一性,給出了迭代序列收斂于解的誤差估計(jì),推廣討論了非反向混合單調(diào)算子方程解的存在唯一性,所得結(jié)果改進(jìn)和推廣了混合單調(diào)算子方程某些已知相應(yīng)結(jié)果.關(guān)鍵詞:錐與半序;反向混合單調(diào)算子

2、;非對稱迭代;不動點(diǎn)中圖分類號:O177.91文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:100025854(2009)0220176204在Banach空間中,混合單調(diào)算子和反向混合單調(diào)算子是2類重要的算子,對于混合單調(diào)算子,應(yīng)用迭代[1～7]方法已得到了許多好的結(jié)果,但對反向混合單調(diào)算子解的存在性問題卻很少涉及.本文中,筆者利用了非對稱迭代法討論了半序空間中反向混合單調(diào)算子解的存在性唯一性,并給出了迭代序列收斂于解的誤差估計(jì).1預(yù)備知識本文中,筆者總假設(shè)E為實(shí)Banach空間,θ表示E中的零元,非空閉凸集P

3、[u0,v0]表示E中的序區(qū)間.定義1錐P稱為正規(guī)的,如果存在N>0,使得θ≤x≤y有‖x‖≤N‖y‖,N為P的正規(guī)常數(shù).定義2稱二元算子B:D×D→E是反向混合單調(diào)算子,若u1≤u2,v2≤v1,ui,vi(i=1,2)∈[u0,[3]v0]時,B(u1,v1)≥B(u2,v2).333)=u3定義3u∈[u0,v0]稱為A的不動點(diǎn),如果A(u,u.2主要結(jié)果定理1設(shè)P是實(shí)Banach空間E中正規(guī)錐,A:D×D→E是反向混合單調(diào)算子,若存在常數(shù)α,β∈(0,1),α+β<1且滿足1)u0+α(v0-u0)≤A(v0,u0),A(u0,v0)≤v0;2)‖A(u,v)-A(

4、v,u)‖≤β‖v-u‖,當(dāng)u0≤u≤v≤v0時:3則反向混合單調(diào)算子A在[u0,v0]上有唯一的不動點(diǎn)x,迭代序列un+1=A(vn,un)-α(vn-un),vn+1=A(un,vn),n=0,1,2,?(1)3都收斂于x,且有誤差估計(jì)(或v)-x3n‖unn‖≤N(α+β)‖v0-u0‖.(2)證考察迭代序列(1),顯然un+1=A(vn,un)-α(vn-un),vn+1=A(un,vn),n=0,1,2,?.由條件1)知u0≤A(v0,u0)-α(v0-u0)=u1≤A(v0,u0)≤A(u0,v0)=v1≤v0,即u0≤u1≤v1≤v0.再由A的反向混合單調(diào)性及

5、歸納法假設(shè)有X收稿日期:2008204228;修回日期:2008206225基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金(10571011);河南省自然科學(xué)基金(072300410370)作者簡介:徐華偉(19732),男,河南商丘人,講師,研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析.·177·un-un-1=(A(vn-1,un-1)-A(vn-2,un-2))-(α(vn-1-un-1)-α(vn-2-un-2))≥θ,vn-1-vn=vn-1-A(un-1,vn-1)≥vn-1-A(un-2,vn-2)=θ,vn-un=A(un-1,vn-1)-A(vn-1,un-1)+α(vn-1-un-1)≥α(v

6、n-1-un-1)≥θ,故由歸納法可得u0≤u1≤?≤un≤?≤vn≤?≤v2≤v1≤v0.(3)根據(jù)條件2)得‖nn-vn‖=‖A(vn-1,nn-1)-α(vn-1-un-1)+A(un-1,vn-1)‖≤‖A(vn-1,nn-1)-A(nn-1,vn-1)‖+‖α(vn-1-un-1)‖≤β‖vn-1-un-1‖+α‖vn-1-un-1‖=(α+β)‖vn-1-un-1‖≤2n(α+β)‖vn-2-un-2‖≤?≤(α+β)‖v0-u0‖.(4)故由(3)知,對任意自然數(shù)n,p有θ≤un+p-un≤vn+p-un≤vn-un,θ≤vn-vn+p≤vn-un+p≤vn-

7、un.從而由(4)及P的正規(guī)性知n‖un+p-un‖≤‖vn-un‖≤N(α+β)‖v0-u0‖→0(n→∞),(5)n‖vn-vn+p‖≤‖vn-un‖≤N(α+β)‖v0-u0‖→0(n→∞).(6)33所以{un},{vn}均為Cauchy列,由E的完備性知,存在u,v∈E使33(n→∞),且u33un→u,vn→vn≤u≤v≤vn.33n33再由θ≤‖v-u‖≤‖vn-un‖≤(α+β)‖v0-u0‖與錐P的正規(guī)性,易知u=v=3x∈D.3由un≤un+p≤vn令p→∞得,un≤x≤vn,n=0,1,2,?