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《一類度量空間及其完備性的證明》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第20卷第2期山東科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vol.2022001年6月JournalofShandongUniversityofScienceandTechnology(NaturalScience)Jun.2001文章編號(hào):1000-2308(2001)02-0012-03一類度量空間及其完備性的證明122劉楊,劉曉軍,趙明清(1.山東大學(xué)數(shù)學(xué)院,濟(jì)南250100;2.山東科技大學(xué)金融工程研究所,泰安271019)摘要:構(gòu)造了一類函數(shù)集合的度量空間,給出其上面的一些性質(zhì),證明了此空間是一完備度量空間。關(guān)鍵詞:度量空間;完備性;集
2、合函數(shù)中圖分類號(hào):O177文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:AAKindofMeasuringSpaceandItsCompleteness122LIUYang,LIUXiaojun,ZHAOMingqing(1.CouegeofMath.,ShandongUniv.,Jinan250100,China;2.ResInst.ofFinancialEngg,SUST,Taian271019,China)Abstract:Inthispaper,weintroducedakindofmeasuringspace,gavesomeofitsproper
3、tiesandprovedthatitsspaceisacompletemeasuringspace.Keywords:measuringspace;completeness;setfunction在控制理論中,經(jīng)常要在一系列容許控制中1下面證明(,d滿足距離的性質(zhì),從而2找到合適的控制。比如最優(yōu)控制理論中,最優(yōu)控可以定義(F,d)為距離空間。制的存在性的證明常常要在一系列經(jīng)過一定選擇1的控制集合中找其某個(gè)子列的極限。如果能夠在定理1(,d(f(),g())滿足距離的三2此集合上構(gòu)造距離,并證明此集合在此距離下完性質(zhì):備
4、的,則最優(yōu)控制的存在性可以得證。在能控性(1)d(f,g)(0,d(f,g)=0!f=g理論當(dāng)中也有這樣的構(gòu)造,本文構(gòu)造的距離空間(2)d(f,g)=d(f,g)可以在最大值原理的證明中起作用。(3)d(f,g)+d(g,h)(d(f,h)1主要結(jié)果證明:(1)和(2)由d的定義易證,(見[2])。其中這里我們稱f=g,如果F={f()
5、(D(f))
6、t?D(f)%D(g),1測(cè)函數(shù),D(f)為R上的可測(cè)集},其中D(f)為f(t)&g(t)}=0。易知這是一個(gè)等
7、價(jià)關(guān)系,故可f()的定義域,為L(zhǎng)ebegue測(cè)度。以這樣指定。下面證明(3),為方便起見,先給出定義1設(shè)F如上所述,定義帶參數(shù)的二元函一些簡(jiǎn)化標(biāo)記:數(shù)d:F?F#R為:A1D(f)-(D(g)?D(h)),B1(D(g)%d(f(),g())=(D(f)D(g))+{t
8、t?==D(h))-D(f)D(f)%D(g),f(t)&g(t)},這里AB(A%=A2D(g)-(D(f)?D(h)),B2(D(f)%1==ccB)?(B%A),記法見[1],且(。2D(h))-D(g)收稿日期:2000-12-06基金項(xiàng)目:山
9、東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Q99A13)作者簡(jiǎn)介:劉楊(1974-),男,山東沂水人,在讀博士生,主要從事隨機(jī)控制的研究。第2期劉楊等:一類度量空間及其完備性的證明13A3D(h)-(D(f)?D(g)),B3(D(f)%#fi的定義域?yàn)镈(#fi)。==i?Ii?ID(g))-D(h)注:由于在定義2.2中我們將#fi的定義域i?IC=D(f)%D(g)%D(h),ai=(Ai),bi=取為D(#fi),而由定義2.1知道在D(#fi)上i?Ii?I(Bi),c=(C),fi(t)取值相同,
10、所以定義#fi為(#fi)(t)fii?Ii?I=則有:(t),i?I是可行的。為了將D(#fi)=!的i?Id(f,g)=(a1+a2+b1+b3)+({f&g}%情況也包括進(jìn)去,我們?cè)贔中加入定義域?yàn)榭占疊3)+({f&g}%C)的函數(shù)f!,即令D(f!)=!,這樣當(dāng)D(#fi)=!i?Id(g,h)=(a2+a3+b2+b3)+({g&h}%時(shí),就令#fi=f!,并且令d(f(),f!)=(Di?IB1)+({g&h}%C)(f)),f?F,易知距離三性質(zhì)依然成立,而且后d(f,h)=(a1+a3+b1+
11、b3)+({f&h}%面的證明都可以將此情況包括進(jìn)去而仍成立。此B2)+({f&h}%C)外為方便起見,常將#(fi),#(fi)分別記為i?Ii=1,2,3d(f,g)+
