dirichlet型空間上的緊加權(quán)復(fù)合算子的譜new

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1、黝數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)2010,30A(4):873—883http://actams.wipm.a(chǎn)c.a(chǎn)nDirichlet型空間上的緊加權(quán)復(fù)合算子的譜王茂發(fā)劉培德(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院武漢430072)摘要:該文研究了單位多圓柱情形Dirichlet型空間上的加權(quán)復(fù)合算子的譜.對(duì)一類緊加權(quán)復(fù)合算子,給出了其譜的完全刻畫,推廣了已有結(jié)果.關(guān)鍵詞:Dirichlet型空間;加權(quán)復(fù)合算子;緊算子;譜.MR(2000)主題分類:47B38中圖分類號(hào):O174.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1003—3998(2010)04—873—111引言設(shè)為復(fù)平面C中的開單位圓盤,H

2、(U)為定義在上的解析函數(shù)全體,:U—為解析自映射,通過復(fù)合運(yùn)算定義的線性映射:f—f。,vf∈H(U)稱為H(U)上的復(fù)合算子.如今復(fù)合算子在H(U)的各種子空間上的性質(zhì)得到了廣泛研究,相關(guān)結(jié)論可參閱Cowen&MacCluer與Shapiro的專著[1-2】.從中可知,復(fù)合算子的結(jié)構(gòu)性質(zhì)與其誘導(dǎo)符號(hào)的函數(shù)幾何性質(zhì)特別是在內(nèi)的不動(dòng)點(diǎn)(i.e.,的Denjoy—Wolf點(diǎn))有緊密的關(guān)系.對(duì)復(fù)合算子譜的描述更加清楚地說明了這一點(diǎn).特別地,Caughran與Schwartz在文獻(xiàn)[3]中首先研究了經(jīng)典Hardy空間日()上的緊復(fù)合算子c的譜,利用的Denjoy—

3、Wolf點(diǎn)給出了其譜的完全刻畫.MacCluer[]隨后把Caughran和Schwartz的結(jié)論推廣到了C單位球上的Hardy空間和加權(quán)Bergman空間的情形.最近Shapiro,Smith[引,GajahGunatillake}6JjZhou,Yuan【】等分別把該結(jié)論進(jìn)一步推廣到了單位圓盤與單位球上的加權(quán)復(fù)合算子的情形.人們自然會(huì)問該結(jié)論是否對(duì)單位多圓柱等更一般的情形也成立.這是因?yàn)樵谏鲜鎏岬降谋娊Y(jié)論的證明中,作者都本性地應(yīng)用了單位圓盤與單位球上的Denjoy—Wolf定理,而我們知道Denjoy—Wolf定理對(duì)單位多圓柱(竹>1)是不成立的[s-l

4、o].本文中,我們?cè)谝活惏訦ardy空間和加權(quán)Bergman空間為特例的單位多圓柱上的Dirichlet型空間上考慮加權(quán)復(fù)合算子的譜問題,克服單位多圓柱上Denjoy—Wolf定理的缺失,運(yùn)用不同的技巧給出了一類緊加權(quán)復(fù)合算子的譜的刻畫,推廣了已有結(jié)果.下面的第2節(jié)包含多圓柱情形Dirichlet型空間的定義及其基本性質(zhì);主要結(jié)果及其證明在第3節(jié);第4節(jié)給出了單位球情形上的類似結(jié)果.收稿日期:2008—10—30;修訂日期:2009—10—09E—mail:mfwang.math@whu.edu.on;pdliu@whu.edu.CYI基金項(xiàng)目:國家自然

5、科學(xué)基金資助874數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)V_01.30A2Dirichlet型空間的基本性質(zhì)眾所周知,單位圓盤上的Dirichlet空間D(u)有如下等價(jià)描述:D(u)={,()=Eakz∈H(U):Elakl。(+1)<∞)(見文獻(xiàn)【11—12】).下面我們給出單位多圓柱U“=U×?×U上Dirichlet型空間()的定義.設(shè)Ot=(OZl,?,OL)∈,Z:(Zl,?,)∈U,f(z)=Ea(k,?)?z“是f∈H(U)的Taylor級(jí)數(shù)展開,其中H(U)表示U(k--,kn)上的全體解析函數(shù)之集.我們稱f∈。(),如果/、1/2Dn)=(∑l。(,l(kl+1)

6、?(+1))

7、由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的D’alembert極限準(zhǔn)則知對(duì)任意1Zil<1,級(jí)數(shù)∑馳t(‰+1)~t

8、。(),則=(l,-一,札)(,)l=If()I∑l

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