資源描述：
《雙曲函數(shù)及其在微分方程中的應(yīng)用new》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究4/2010雙曲函數(shù)及其在微分方程中的應(yīng)用李路(上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院上海201620)摘要由指數(shù)函數(shù)的奇偶分解,引出了雙曲函數(shù)的定義及其簡單微分性質(zhì),分析了雙曲函數(shù)的兩個(gè)微分方程中的應(yīng)用:懸鏈線方程和自由落體運(yùn)動(dòng)。關(guān)鍵詞雙曲函數(shù);懸鏈線;自由落體一、雙曲函數(shù)的定義和性質(zhì)(sinhx)=coshx;(coshx)=sinhx;22(tanhx)=seehx;(cothx)=-cschx.任意定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間的函數(shù)可以唯一的分解成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函二、懸鏈線問題數(shù)的和,分解表達(dá)式為f(x)+f(-x)f(x)
2、-f(-x)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利(JacobBerf(x)=+.22noull,i16541705)把懸鏈線問題歸結(jié)為:設(shè)偶函數(shù)部分奇函數(shù)部分x有一質(zhì)量均勻的柔軟繩索,兩端固定,僅受重設(shè)函數(shù)F(X)=e,則有分解結(jié)果x-xx-x力的作用而下垂.試求繩索在平衡狀態(tài)下所xe+ee-ee=+,呈曲線的方程.也許你怎么看都會(huì)想到拋物22偶函數(shù)部分奇函數(shù)部分線,但你只是重復(fù)了歷史上數(shù)學(xué)家的錯(cuò)誤而x函數(shù)E的偶函數(shù)部分稱為的雙曲余弦,函數(shù)已。雅各布伯努利一籌莫展,于1690年向xe的奇函數(shù)部分稱為的雙曲正弦。分別記作全世界征求答案.直到一年后,他的弟弟約翰x-xx-xe+ee-e伯
3、努利(JohannBernoull,i1667-1748)用coshx=,sinhx=22解微分方程的方法給出了解答,求出的曲線類似的,可定義正是雙曲余弦.x-x[1]sinhxe-e對(duì)懸鏈線建立坐標(biāo)系如圖1所示,使雙曲正切函數(shù)tanhx==x-x;coshxe+e繩索的最低點(diǎn)A在y軸上。設(shè)所求曲線的方x-xcoshxe+e程為y=f(x),單位長度繩索的重量為,對(duì)雙曲余切函數(shù)cothx==;x-xsinhxe-e繩索上弧段AM作受力分析.作用在該弧段12上有三個(gè)力:最低點(diǎn)處的沿水平切線方向的雙曲正割函數(shù)sechx==;雙曲x-xcoshxe+e張力,它是一個(gè)常量,大小為
4、H;點(diǎn)M處的沿12切線方向的張力,大小為T,與水平線成余割函數(shù)cothx==。x-xsinhxe-e角;第三個(gè)力是重力,鉛直向下,大小為p=容易證明以下微分性質(zhì):s,s為弧段的長。16x2-1+p-p=ea,二式相減,解得1x-xp=ea-ea,2或1xx-y==ea-ea2圖1懸鏈線受力分析ax-x積分并由y
5、x=0=a,得y=ea+ea.這2因?yàn)槔K索處于平衡狀態(tài),故有就是所求曲線的方程,它正是雙曲余弦函數(shù)。Tcos=H,Tsin=s萊布尼茨稱此曲線為懸鏈線。兩式相除,得1Htan=s,a=三、自由落體運(yùn)動(dòng)的分析a由于tan=y,上式即具有質(zhì)量為
6、m的物體從靜止做自由落dy1=s,體運(yùn)動(dòng),并受到與速度平方成正比的空氣阻dxa22力,那么該物體受力為mg-kv,(為常數(shù)),dy1ds為消去s,上式兩端對(duì)x求導(dǎo),得2=。則由牛頓第二定律F=ma,有該物體下落后dxadxdv22的速度滿足微分方程m=mg-kv,可以dsdydt由弧微分公式,可得=1+,代dxdx驗(yàn)證該微分方程的解為[2]入上式,得mggk22v=tanhtdy1dykm=1+.2dxadxmg如果取原點(diǎn)O到點(diǎn)A的距離為定值a,物體下落的極限速度為limv=limtanhttk則初始條件為y
7、x=0=a,y
8、x=0=0問題化歸gkmg為以下的初值問
9、題(t)。mk22dy1dy=1+取m=60,g=9.8下落速度的圖像為2dxadxy
10、x=0=a,y
11、x=0=0,其中的微分方程屬于不顯含y的可降階的二2dy階微分方程。令y=p,則p(0)=0,且=2dx21dy121+化為p=1+p,積分得adxa2x圖2極限速度ln(p+1+p)=+C,a由p(0)=0求得C1=0,代入上式,得p+四、小結(jié)x2-1+p=ea,取倒數(shù)得17雙曲函數(shù)有非常廣泛的應(yīng)用,在描述彈版.上海:高等教育出版社2007.[2]MauriceWeir.ThomasCallculus(tenthedition)[M].性固體中的波的運(yùn)動(dòng),散
12、熱片中的溫度分布葉其孝,王耀東,唐兢,譯.上海:高等教育出版等問題都可以用雙曲函數(shù)來解決,反雙曲函社,2003.數(shù)在積分學(xué)中也有更多的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上、下冊)[M].6(上接第12頁)言使用的準(zhǔn)確性;而從記憶角度來看,多聽可的重要環(huán)節(jié)。以增強(qiáng)記憶,提高儲(chǔ)存寫作信息的效率。以聽促寫是一種注重記憶效果的方法,因參考文獻(xiàn)此訓(xùn)練中要注意:選材既要地道又要實(shí)用;訓(xùn)練既要有指導(dǎo)又要有計(jì)劃,盡量科學(xué)地發(fā)[1]桂詩春.新編心理語言學(xué)[M].上海:上海外
