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1、第16卷第3期數(shù)學(xué)研究與評(píng)論Vol.16No.31996年8月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONAug.1996X全平面上的高斯曲率方程王元明王明網(wǎng)(東南大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系,南京210096)(東南大學(xué)微電子中心,南京210096)摘 要 本文用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明了一維K≥0的解、二維K≥0的徑向解的存在性,同時(shí)證明了當(dāng)K≤0時(shí),在無窮遠(yuǎn)處有不同漸近性的K所對(duì)應(yīng)的極大解的漸近性,并給出了徑向解的刻畫,推廣了前人結(jié)果.關(guān)鍵詞 高斯曲率,無界域
2、問題,半線性橢圓型方程.分類號(hào) AMS(1991)58G03?CCLO175.251 問題的提出設(shè)(M,g)為二維Riemann流形,K是M上的光滑函數(shù),問:能否找到與g共形的度量2ug1(g1=Ug,U>0)使得K是(M,g1)的高斯曲率?令U=e,則這個(gè)問題化為求方程2u$gu-k+ke=0 在M內(nèi)(1)的古典解,其中$g為M上關(guān)于度量g的Laplace2Beltrami算子,k為M上關(guān)于度量g的高斯2曲率.若M=R,g為標(biāo)準(zhǔn)度量,則(1)化為2u2$u+Ke=0 在R內(nèi),(2)2其中$為通常
3、的Laplace算子.本文考慮問題(2),此問題有兩大困難:(1)R上求解,通常的2uSobolev空間的緊性不再成立;(2)含有e項(xiàng),要用到類似Trudinger不等式的估計(jì).[1]1972年Sattinger給出了K≤0解不存在的例子,W.M.Ni用上下解方法給出了K≤0[2][3]解的存在性的例子,后來R.McOwen改進(jìn)了Ni的結(jié)果,文[4,5]給出了極大解及部分解集的刻畫,[6]中討論了一維及多維的情況.對(duì)于K≥0,文[7,8]證明了解的存在性,文[9]得l-2l到了有解uA=Aln?x
4、?+O(1)所必須的最好參數(shù):A<,l>0且K(x)～?x?于∞處.2本文的結(jié)果如下:定理1一維情況2u1uxx+Ke=0在R上.(3)+∞設(shè)K≥0,K(0)>0,∫K(x)dx<+∞,則(3)有無窮多個(gè)解,且當(dāng)?x?→∞時(shí)線性衰減于-∞-∞.定理2對(duì)于方程(2),設(shè)K≥0,K是徑向的(K(x)=K(?x?)),K(0)>0,且X1993年8月24日收到.94年4月9日收到修改稿.國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目.—393—?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,
5、Ltd.Allrightsreserved.+∞1+c∫sK(s)ds<+∞,常數(shù)c>0,則有無窮多個(gè)徑向解,且當(dāng)?x?→∞時(shí)對(duì)數(shù)衰減于-0∞.2m2(m-1)-2?x?2m定理3設(shè)K≤0,K～-?x?e,m>0,于∞,則(2)的極大解U=?x?+O(1)于∞.m=1即為[4]的引理3.1.定理4在定理3的假設(shè)下,再設(shè)K是徑向的,則有① 對(duì)任意A>0,(2)存在唯一解滿足uA=Aln?x?+O(1) 于∞.(4)② 設(shè)(2)的解為徑向的,那么a≡U(定理2給出)或者u≡u(píng)A.2③ 對(duì)于A>B>0,
6、有uA>uA在R內(nèi).2 定理1、2的證明2.1 定理1的證明找方程(3)滿足u(0)=B,u′(0)=0的解等價(jià)于找如下方程的不動(dòng)點(diǎn):x2u(t)u(x)=B-∫(x-t)K(t)edt,x∈R.(5)01∞2B2B先在[0,∞)上找解.取B<0,A≥1滿足:∫K(t)edt≤1,∫eK(t)dt≤A.記X為[0,-10+∞)上所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的局部凸的空間,Y={v∈X?AB(x)≤v(x)≤B,x≥0},其中B-10≤x≤1AB(x)=,定義算子T:Tv=u(x).顯然T是Y→Y的映射.設(shè){v
7、m}1Y,vm→v在X內(nèi),則v∈Y,且有xx(x-t)K(t)?e2vm(t)2v(t)(x-t)K(t)e2B?Tvm-Tv?≤∫-e?dt≤∫dt.00由勒貝格控制收斂定理知Tvm在[0,∞)上的任意緊子區(qū)間上一致收斂于Tv.由于x∞2v(t)2B0≥(Tv)′(x)=-∫K(t)edt≥-∫K(t)edt,v∈Y,00所以在[0,∞)上任意緊子區(qū)間上TY是一致有界、等度連續(xù)的,即TY在Y中是相對(duì)緊的.由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理知T有不動(dòng)點(diǎn),即在(0,∞)上有解.在(-∞,0]
8、上解的存在性的證明類似,從略.取x>0且充分大,則1112u(t)2u(t)2u(t)u(x)≤B-∫(x-t)K(t)edt=B+∫tK(t)edt-x∫K(t)edt.00012u(t)由于K(0)>0,則∫K(t)edt>0,則解在+∞處線性衰減于-∞.-∞處可類似證明.012B滿足∫K(t)edt≤1的B有無限多個(gè),故(3)的解也有無窮多個(gè).-12.2 定理2的證明找方程(2)滿足u(0)=B,u′(0)=0的解等價(jià)于求如下方程的不動(dòng)點(diǎn):rr2u(s)u(r)=B-∫sln
