同濟(jì)大學(xué) 高數(shù)ppt課件

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1、一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分1212?σ=(r+?r)??θ?r??θiiiiii22θ=θ+?θr=r+?rii1ii=(2ri+?ri)?ri??θir=ri2?σir+(r+?r)iii=?r??θii2Dθ=θi=r??r??θ,iiioA∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ.DD2010年5月21日11時(shí)28二重積分的計(jì)算法(21)2分二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖r=?(θ)r=?(θ)12α≤θ≤β,D?(θ)≤r≤?(θ).β12αo

2、A∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθDβ?2(θ)=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr.α?1(θ)2010年5月21日11時(shí)28二重積分的計(jì)算法(21)3分r=?(θ)區(qū)域特征如圖1Dr=?(θ)2α≤θ≤β,?(θ)≤r≤?(θ).β12αoA∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθDβ?2(θ)=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr.α?1(θ)2010年5月21日11時(shí)28二重積分的計(jì)算法(21)4分二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖r=?(θ)Dα≤θ

3、≤β,0().β≤r≤?θαoA∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθDβ?(θ)=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr.α02010年5月21日11時(shí)28二重積分的計(jì)算法(21)5分二重積分化為二次積分的公式（３）r=?(θ)區(qū)域特征如圖D0≤θ≤2π,0≤r≤?(θ).oA∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθD2π?(θ)=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr.00極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積σ=∫∫rdrdθ.D2010年5月21日11時(shí)28二重積分的計(jì)算法(21)6分例1寫

4、出積分∫∫f(x,y)dxdy的極坐標(biāo)二次積分形D式，其中積分區(qū)域2D={(x,y)

5、1?x≤y≤1?x,0≤x≤1}.?x=rcosθ22x+y=1解在極坐標(biāo)系下??y=rsinθ所以圓方程為r=1,1x+y=1直線方程為r=,sinθ+cosθπ1f(x,y)dxdy2(cos,sin).∫∫=∫∫dθ1frθrθrdr0Dsinθ+cosθP1552010年5月21日11時(shí)28二重積分的計(jì)算法(21)7分T12奇22?x?y例2計(jì)算∫∫edxdy，其中D是由中心在D原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍

6、成的閉區(qū)域.解在極坐標(biāo)系下D：0≤r≤a，0≤θ≤2π.?x2?y22πa2edxdy?r∫∫=∫dθ∫erdr00D2?a=π(1?e).2010年5月21日11時(shí)28二重積分的計(jì)算法(21)8分∞2?x例3求廣義積分∫edx.0解D=xyx2+y2≤R2D2{(,)

7、}1S222SD2D2={(x,y)

8、x+y≤2R}DD11S={(x,y)

9、0≤x≤R,0≤y≤R}R2R{x≥0,y≥0}顯然有D?S?D1222?x?y∵e>0,?x2?y2?x2?y222?x?y∴∫∫edxdy<∫∫e

10、dxdy<∫∫edxdy.D1SD22010年5月21日11時(shí)28二重積分的計(jì)算法(21)9分22?x?y又∵I=∫∫edxdySR2R2R2?x?y?x2=∫edx∫edy=(∫edx);00022?x?yI=edxdy1∫∫D1πR22?r2π?R=∫dθ∫erdr=(1?e);004?x2?y2π2?2R同理I=edxdy=(1?e).2∫∫4D22010年5月21日11時(shí)28二重積分的計(jì)算法(21)10分∵I

11、;404ππ當(dāng)R→∞時(shí),I1→,I2→,44π∞2π?x2故當(dāng)R→∞時(shí),I→,即(∫edx)=,404∞?x2π所求廣義積分∫edx=.022010年5月21日11時(shí)28二重積分的計(jì)算法(21)11分22例4計(jì)算∫∫(x+y)dxdy，其D為由圓D2222x+y=2y，x+y=4y及直線x?3y=0，y?3x=0所圍成的平面閉區(qū)域.πy?3x=0?θ=解2322x+y=4y?r=4sinθπx?3y=0?θ=1622x+y=2y?r=2sinθπ4sinθπ2232=15(?∫∫(x+y)dxd

12、y=∫∫πdθr?rdr3).2sinθ26D2010年5月21日11時(shí)28二重積分的計(jì)算法(21)12分22sin(πx+y)例5計(jì)算二重積分∫∫dxdy,22x+yD22其中積分區(qū)域?yàn)镈={(x,y)

13、1≤x+y≤4}.解由對稱性，可只考慮第一象限部分，D1D=4D1注意：被積函數(shù)也要有對稱性.2222sin(πx+y)sin(πx+y)∫∫22dxdy=4∫∫22dxdyDx+yDx+y1π2sinπr2=4∫dθ∫rdr=?4.01r2010年5月21日11時(shí)28二重積分的計(jì)算法(21)