資源描述：
《連續(xù)阻尼函數(shù)的頻譜》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、連續(xù)阻尼函數(shù)的頻譜院系XX專業(yè)XX姓名XX[問題]物體作初速度為零的阻尼運(yùn)動(dòng)的位移為，(t≥0)其中，A0為t=0時(shí)的初位移，β為阻尼因子，ω'為準(zhǔn)圓頻率，ω0是無阻尼簡諧振動(dòng)的圓頻率。試求物體作阻尼運(yùn)動(dòng)的頻譜，并畫出頻譜曲線。[數(shù)學(xué)模型]方法一：用解析公式。非周期性的振動(dòng)可以分解為一系列簡諧振動(dòng)，它可以當(dāng)作周期T→∞或基頻ω→0的周期性運(yùn)動(dòng)，因此分解的一系列簡諧振動(dòng)的頻率是連續(xù)分布的。根據(jù)傅立葉積分，可將振動(dòng)x(t)按頻率ω分解為，(6_13_1)可以證明：頻率為ω的振幅為。(6_13_2)其模就是頻譜。阻尼振動(dòng)在t<0時(shí)可認(rèn)為x=0，因此頻譜為。(6_13_3)利用復(fù)
2、數(shù)積分，和歐拉公式eix=cosx+isinx，令上式兩邊實(shí)部和虛部分別相等可得，(6_13_4a)。(6_13_4b)因此頻譜為，6當(dāng)t→∞時(shí)
3、e-iωt
4、≤1，e-βt→0，因此，利用可得振幅為。(6_13_5)阻尼運(yùn)動(dòng)的頻譜為。(6_13_6)如果β=0，當(dāng)ω→ω0時(shí)，
5、F(ω)
6、→∞。[算法]由(6_13_5)式可得簡化振幅。(6_13_5*)其中，ω*=ω/ω0，β*=β/ω0。物體作阻尼運(yùn)動(dòng)的簡化頻譜為。(6_13_6*)[程序]zhou13_2_1fourier.m如下。%阻尼振動(dòng)(非周期性振動(dòng))的傅立葉變換(用解析式)clear%清除變量t=0:0.1:2
7、0;%固有角頻率與時(shí)間的乘積w0t向量b=0:0.2:1;%阻尼因子與固有角頻率的倍數(shù)向量b(end)=1-eps;%將臨界阻尼值1改為1減小量(1)[B,T]=meshgrid(b,t);%簡化阻尼和因子簡化時(shí)間矩陣W=sqrt(1-B.^2);%準(zhǔn)角頻率向量X=exp(-B.*T).*(cos(W.*T)+B./W.*sin(W.*T));%位移函數(shù)figure%創(chuàng)建圖形窗口plot(t,X)%畫曲線簇(2)gridon%加網(wǎng)格fs=16;%字體大小xlabel('itomegarm_0itt','fontsize',fs)%標(biāo)記橫坐標(biāo)ylabel('itx
8、/Arm_0','fontsize',fs)%標(biāo)記縱坐標(biāo)title('質(zhì)點(diǎn)在不同阻尼下的振動(dòng)曲線','fontsize',fs)%標(biāo)題l=length(b);%曲線條數(shù)legend([repmat('itbeta/omegarm_0:',l,1),num2str(b')])%加圖例w=0:0.001:3;%簡化角頻率[B,W]=meshgrid(b,w);%簡化阻尼因子和簡化角頻率矩陣F=sqrt((4*B.^2+W.^2)./((1-W.^2).^2+4*B.^2.*W.^2));%頻譜(3)figure%創(chuàng)建圖形窗口6plot(w,F)%畫頻譜曲線簇axis
9、([0,3,0,3])%曲線范圍gridon%加網(wǎng)格xlabel('itomega/omegarm_0','fontsize',fs)%標(biāo)記橫坐標(biāo)ylabel('itFomegarm_0/itArm_0','fontsize',fs)%標(biāo)記縱坐標(biāo)title('質(zhì)點(diǎn)在不同阻尼下的振動(dòng)頻譜曲線','fontsize',fs)%標(biāo)題legend([repmat('itbeta/omegarm_0:',l,1),num2str(b')])%加圖例程序執(zhí)行結(jié)果如P13_2_1a圖和P13_2_1b圖所示。P12_2_1a圖P12_2_1b圖[說明](1)阻
10、尼振動(dòng)是非周期性振動(dòng)或準(zhǔn)周期性振動(dòng)。當(dāng)阻尼因子等于固有角頻率時(shí)，就是臨界阻尼情況。為了避免出現(xiàn)非數(shù)，就將簡化臨界阻尼因子取得比1小一點(diǎn)。(2)當(dāng)簡化阻尼因子大于零且小于1時(shí)，阻尼振動(dòng)的振幅是衰減的，因而是準(zhǔn)周期性的。(3)計(jì)算了頻譜，即可畫出頻譜圖。如果計(jì)算的是復(fù)振幅F=(2*B+i*OMEGA)./(1-OMEGA.^2+2*i*B.*OMEGA)/2/pi;在繪圖指令中則要復(fù)振幅的模才能畫出相同的曲線簇。plot(w,abs(F))方法二：用快速傅立葉變換指令。任何一個(gè)非周期函數(shù)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)當(dāng)周期趨于無窮大轉(zhuǎn)化而來的。為了便于計(jì)算，往往取足夠長的時(shí)間當(dāng)作
11、周期T，并且當(dāng)t<0時(shí)，非周期函數(shù)當(dāng)零處理，即。(6_13_17)在(0,T)之間取N個(gè)點(diǎn)，則Δt=T/N，t=(k-1)Δt，x(t)=x[(k-1)Δt]=xk，k=1,2,…,N。取ω=(n-1)2π/T，n=1,2,…,N，并取F(ω)=Fn，令dt=Δt，則得，(n=1,2,…,N)。(6_13_18)取t*=ω0t，β*=β/ω0，，則物體作阻尼運(yùn)動(dòng)的位移可表示為，(t≥0)，(6_13_19)由于Δt=Δt*/ω0，因此6，(n=1,2,…,N)。即。(6_13_18*)的自變量是ω/ω0。[程序]zhou13_
