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《工程數(shù)學工程數(shù)學線性代數(shù).doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、參考書：線性代數(shù)(第二版)居余馬清華大學出版社概要&總結一、線性代數(shù)的基礎內容：1、行列式——行列式的定義及計算性質(7條)，克萊姆法則；2、矩陣——運算(包括相等、加法、數(shù)乘；轉置，乘法，逆)；矩陣的行列式、伴隨矩陣；初等變換(包括行、列變換及與矩陣乘法的關系，求逆等)；行等價標準形(行階梯形、行簡化階梯形)及標準形；矩陣的秩；分塊矩陣例1：設是矩陣，設是矩陣，且，其中是階單位矩陣，則：3、向量——線性組合、表示、相關性；秩及極大無關組例2：設，若形成的向量組為2，則特別的，除理解概念外，盡可能深刻的理解初等變換在解
2、決矩陣相關問題中的作用；初等變換與矩陣乘積運算的關系；矩陣的秩與向量組的秩之間的關系；如何借助矩陣的初等行變換去求向量組的秩及其極大無關組二、線性代數(shù)的應用性內容1、線性方程組求解：i)齊次的，討論有不全為零解的條件，解的性質和基礎解系(不唯一)—格式化的求基礎解系的步驟；ii)非齊次的，討論有解的條件(唯一解、無窮多解)，解的性質和結構—格式化的解題步驟例3：設，已知線性方程組存在兩個不同的解。(I)求；(II)求的通解2、向量空間：基、坐標、過渡矩陣、坐標變換公式；特殊的基，自然基和標準正交基及施密特正交化方法；正
3、交矩陣3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步驟，關鍵是在理解這組概念及其性質；ii)矩陣對角化：矩陣可對角化的條件；特征向量的性質；相似矩陣iii)實對稱矩陣正交對角化：實對稱矩陣特征值特征向量的性質(特征值都為實數(shù)，屬于不同特征值的特征向量正交)——格式化的對角化步驟例4：設是四階實對稱矩陣，且，若則相似于：4、二次型：i)二次型與對稱矩陣的關系ii)利用正交變換的方法化二次型為標準型相當于實對稱矩陣的正交對角化；配方法化二次型為標準形；合同矩陣(與等價、相似的關系)iii)二次型的規(guī)范形與慣性定
4、理：正慣性指數(shù)與負慣性指數(shù)唯一確定iv)正定二次型與正定矩陣：如何判別？——四個等價的條件(正定；正慣性指數(shù)為；存在使；所有特征值大于零)例5：設二次型在正交變換下的標準形為，且的第三列為。(I)求；(II)證明為正定矩陣【注】另例：設三階實對稱矩陣的特征值是屬于的一個特征向量。記，其中為三階單位矩陣(I)驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值和特征向量；(II)求矩陣。第一章行列式關鍵字：行列式的概念和基本性質 行列式按行（列）展開定理克萊默法則一、1．行列式定義及相關概念：(這是行列式的遞推法定義)由個數(shù)組成的階行
5、列式是一個算式，特別當時，定義；當，其中，是中去掉第1行第列全部元素后按照原順序拍成的階行列式，稱為元素的余子式，為元素的代數(shù)余子式。中所在的對角線稱為行列式的主對角線，相應的元素為主對角元。另一條對角線稱為副對角線例1：計算階下三角行列式的值2．階行列式的性質a)行列式的行與列(按原順序)互換，其值不變；b)行列式對任一行按下式展開，其值相等，即，其中，是中去掉第行第列全部元素后按照原順序排成的階行列式，稱為元素的余子式，為元素的代數(shù)余子式；c)線性性質——加法和數(shù)乘；推論：某行元素全為零的行列式其值為d)行列式中兩
6、行對應元素全相等，其值為0；推論：行列式中兩行對應成比例，其值為0e)在行列式中，把某行各元素分別乘非零常數(shù)，再加到另一行的對應元素上，行列式值不變；f)行列式的兩行互換，行列式的值反號g)行列式的某一行元素乘另一行對應元素的代數(shù)余子式之和為0。3．計算行列式，利用行列式的性質。(需要記住范德蒙行列式和反對稱行列式的值)計算經(jīng)驗總結：利用行列式性質定義與性質，化成三角陣(習慣上化成上三角陣)，或按零元素最多的行或列按定義展開等等二、定理(克萊默法則)設線性非齊次方程組，其系數(shù)行列式：，這方程組有唯一解。其中是用常數(shù)項替
7、換中第列所成的行列式。推論：若齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則方程組只有零解，例1：a)解方程組：；b)在什么條件下，有非零解？第二章矩陣【關鍵字】矩陣的概念 矩陣的線性運算 矩陣的乘法 方陣的冪 方陣乘積的行列式 矩陣的轉置 逆矩陣的概念和性質 矩陣可逆的充分必要條件 伴隨矩陣 矩陣的初等變換 初等矩陣一、矩陣相關概念：數(shù)域中個數(shù)排成行列，并擴以圓括弧(或方括弧)的數(shù)表，稱為數(shù)域上的矩陣，通常用大寫字母記做，其中稱為矩陣的第行第列元素。時為實矩陣，時為復矩陣；個元素全為0的矩陣稱為零矩陣；時稱為方陣(或為階方陣)；線性
8、方程組的未知元系數(shù)排成的矩陣，稱為系數(shù)矩陣，若加上右端常數(shù)項排成的矩陣稱為增廣矩陣，記為?！咀ⅰ烤仃嚺c行列式的區(qū)別：行列式是一個算式，是一個值；矩陣是一張表，當是方陣時可以計算其所對應的行列式值，稱為矩陣的行列式，記為或。若，稱為奇異矩陣；若，稱為非奇異矩陣。二、矩陣的基本運算：加法、數(shù)量乘法和乘法；轉置；逆矩陣、初等行和列變換1
