數(shù)論的方法技巧.doc

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1、數(shù)論的方法技巧　　數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它歷史悠久，而且有著強(qiáng)大的生命力。數(shù)論問(wèn)題敘述簡(jiǎn)明，“很多數(shù)論問(wèn)題可以從經(jīng)驗(yàn)中歸納出來(lái)，并且僅用三言兩語(yǔ)就能向一個(gè)行外人解釋清楚，但要證明它卻遠(yuǎn)非易事”。因而有人說(shuō)：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒(méi)有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵(lì)，并勸他將來(lái)從事數(shù)學(xué)方面的工作。”所以在國(guó)內(nèi)外各級(jí)各類的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，數(shù)論問(wèn)題總是占有相當(dāng)大的比重?！　⌒W(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的

2、結(jié)論有：　　1．帶余除法：若a，b是兩個(gè)整數(shù)，b＞0，則存在兩個(gè)整數(shù)q，r，使得　　a=bq+r（0≤r＜b），　　且q，r是唯一的?！　√貏e地，如果r=0，那么a=bq。這時(shí)，a被b整除，記作b

3、a，也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)。　　2．若a

4、c，b

5、c，且a，b互質(zhì)，則ab

6、c?！　?．唯一分解定理：每一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積，即　　其中p1＜p2＜…＜pk為質(zhì)數(shù)，a1，a2，…，ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。（1）式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解?！　?．約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為（1），則它的正約數(shù)個(gè)數(shù)為：　　d（

7、n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）?！　?．整數(shù)集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式x＜y與x≤y-1是等價(jià)的。　　下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來(lái)分類講解。一、利用整數(shù)的各種表示法　　對(duì)于某些研究整數(shù)本身的特性的問(wèn)題，若能合理地選擇整數(shù)的表示形式，則常常有助于問(wèn)題的解決。這些常用的形式有：　　1．十進(jìn)制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；　　2．帶余形式：a=bq+r；　　　　4．2的乘方與奇數(shù)之積式：n=2mt，其中t為奇數(shù)?！　±?紅、黃、白和藍(lán)色卡片各1張，每張上寫(xiě)有1個(gè)數(shù)字，小明將這4張卡片如

8、下圖放置，使它們構(gòu)成1個(gè)四位數(shù)，并計(jì)算這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差。結(jié)果小明發(fā)現(xiàn)，無(wú)論白色卡片上是什么數(shù)字，計(jì)算結(jié)果都是1998。問(wèn)：紅、黃、藍(lán)3張卡片上各是什么數(shù)字？　　解：設(shè)紅、黃、白、藍(lán)色卡片上的數(shù)字分別是a3，a2，a1，a0，則這個(gè)四位數(shù)可以寫(xiě)成　　1000a3+100a2+10a1+a0，　　它的各位數(shù)字之和的10倍是　　10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，　　這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差是　　990a3+90a2-9a0=1998，　　110a3+10a2-a0=222?！　”容^

9、上式等號(hào)兩邊個(gè)位、十位和百位，可得　　a0=8，a2=1，a3=2。　　所以紅色卡片上是2，黃色卡片上是1，藍(lán)色卡片上是8?！　〗猓阂李}意，得　　　a+b+c＞14，　　說(shuō)明：求解本題所用的基本知識(shí)是，正整數(shù)的十進(jìn)制表示法和最簡(jiǎn)單的不定方程?！　±?從自然數(shù)1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個(gè)數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和能被18整除？　　解：設(shè)a，b，c，d是所取出的數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，則　　a+b+c=18m，a+b+d=18n，　　其中m，n是自然數(shù)。于是　　c-d=18（m-n）?！　∩鲜秸f(shuō)明所取出的數(shù)中任意2個(gè)數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所

10、取出的每個(gè)數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個(gè)余數(shù)為r，則　　a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，　　其中a1，b1，c1是整數(shù)。于是　　a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r?！　∫?yàn)?8

11、（a+b+c），所以18

12、3r，即6

13、r，推知r=0，6，12。因?yàn)?000=55×18+10，所以，從1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56個(gè)數(shù)，它們中的任意3個(gè)數(shù)之和能被18整除。　　例4求自然數(shù)N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內(nèi)，它共有10個(gè)約數(shù)?！　〗猓喊褦?shù)N寫(xiě)成質(zhì)因數(shù)乘積的形式　　由于N能被5和72=4

14、9整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指數(shù)ak為自然數(shù)或零。依題意，有　?。╝1+1）（a2+1）…（an+1）=10?！　∮捎赼3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故　　a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，　　即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)5和7，因?yàn)閍4+1≥3＞2，故由　?。╝3+1）（a4+1）=10　　知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。　　例5如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數(shù)，那么N

15、等于多少個(gè)2與1個(gè)奇數(shù)的積？　　解：因?yàn)?10=1024，211=2048＞2000，每一個(gè)不