中考數(shù)學(xué)壓軸題二次函數(shù)與圓

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1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案第四講：二次函數(shù)與圓綜合中考要求板塊考試要求A級要求B級要求C級要求二次函數(shù)1.能根據(jù)實際情境了解二次函數(shù)的意義；2.會利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖像；1.能通過對實際問題中的情境分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式；2.能從函數(shù)圖像上認(rèn)識函數(shù)的性質(zhì)；3.會確定圖像的頂點(diǎn)、對稱軸和開口方向；4.會利用二次函數(shù)的圖像求出二次方程的近似解；1.能用二次函數(shù)解決簡單的實際問題；2.能解決二次函數(shù)與其他知識結(jié)合的有關(guān)問題；例題精講一、二次函數(shù)與圓綜合【例1】已知：拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，且．（Ⅰ）若，且為正整數(shù)，求拋物線的解析式；（Ⅱ）若，求的

2、取值范圍；（Ⅲ）試判斷是否存在，使經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的圓與軸相切于點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，試說明理由；（Ⅳ）若直線過點(diǎn)，與（Ⅰ）中的拋物線相交于兩點(diǎn)，且使，求直線的解析式．【解析】（Ⅰ）解法一：由題意得，．解得，．為正整數(shù)，∴．∴．解法二：由題意知，當(dāng)時，．（以下同解法一）解法三：，．又．∴．（以下同解法一．）解法四：令，即，∴．（以下同解法三．）（Ⅱ）解法一：．，即．，∴．解得：．∴的取值范圍是．解法二：由題意知，當(dāng)時，．解得：．∴的取值范圍是．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，．∴∴．∴的取值范圍是．（Ⅲ）存在．解

3、法一：因為過兩點(diǎn)的圓與軸相切于點(diǎn)，所以兩點(diǎn)在軸的同側(cè)，∴．由切割線定理知，，即．∴，∴∴．解法二：連接．圓心所在直線，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，圓心為，則．，∴在中，．即．解得．（Ⅳ）設(shè)，則．過分別向軸引垂線，垂足分別為．則．所以由平行線分線段成比例定理知，．因此，，即．過分別向軸引垂線，垂足分別為，則．所以．．．．，或．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案當(dāng)時，點(diǎn)．直線過，解得當(dāng)時，點(diǎn)．直線過，解得故所求直線的解析式為：，或．【例1】已知拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為M，直線CM的解析式并且線段CM的長為（1）求拋物線的解析式。（2）設(shè)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)

4、A（X1，0）、B（X2，0），且點(diǎn)A在B的左側(cè)，求線段AB的長。（3）若以AB為直徑作⊙N，請你判斷直線CM與⊙N的位置關(guān)系，并說明理由。【解析】（1）解法一：由已知，直線CM：y=－x＋2與y軸交于點(diǎn)C（0,2）拋物線．過點(diǎn)C（0,2），所以c=2，拋物線的頂點(diǎn)M在直線CM上，所以，解得或若，點(diǎn)C、M重合，不合題意，舍去，所以．即M過M點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為Q，在所以，，解得，?！嗨髵佄锞€為：或以下同下。解法二：由題意得,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為∵點(diǎn)M在直線上，∴由勾股定理得，∵∴=，即解方程組，得，∴或當(dāng)時，設(shè)拋物線解析式為，∵拋物線

5、過點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時，設(shè)拋物線解析式為∵拋物線過點(diǎn)，∴，∴∴所求拋物線為：或（2）∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，∴不合題意，舍去?！鄴佄锞€應(yīng)為：拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)且點(diǎn)A在B的左側(cè)，∴，得文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案（3）∵AB是⊙N的直徑，∴r=，N（－2，0），又∵M(jìn)（－2，4），∴MN=4設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)D，則D（2，0），∴DN=4，可得MN=DN，∴，作NG⊥CM于G，在=r即圓心到直線CM的距離等于⊙N的半徑．∴直線CM與⊙N相切【例1】已知：在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)．⑴試用含的代數(shù)式表示；⑵設(shè)拋物

6、線的頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑的圓被軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分．若將劣弧沿軸翻折，翻折后的劣弧落在⊙內(nèi)，它所在的圓恰與相切，求⊙半徑的長及拋物線的解析式；⑶設(shè)點(diǎn)是滿足()中條件的優(yōu)弧上的一個動點(diǎn)，拋物線在軸上方的部分上是否存在這樣的點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】⑴解法一：∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)∴，，∴解法二：∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為()∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)∴拋物線的對稱軸為直線∴，∴⑵由拋物線的對稱性可知，∴點(diǎn)在⊙上，且又由()知拋物線的解析式為∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

7、()①當(dāng)時，如圖，設(shè)⊙被軸分得的劣弧為，它沿軸翻折后所得劣弧為，顯然所在的圓與⊙關(guān)于軸對稱，設(shè)它的圓心為∴點(diǎn)與點(diǎn)也關(guān)于軸對稱∵點(diǎn)在⊙上，且與⊙相切∴點(diǎn)為切點(diǎn)，∴∴文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案∴為等腰直角三角形，∴∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴∴∴拋物線的解析式為②當(dāng)時，同理可得：拋物線的解析式為綜上，⊙半徑的長為，拋物線的解析式為或⑶拋物線在軸上方的部分上存在點(diǎn)，使得設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為()，且①當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(如圖)∵點(diǎn)是⊙的優(yōu)弧上的一點(diǎn)∴，∴過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∴，∴，∴由解得：(舍去)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為②當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(如圖)，同理可得，由解得：(舍去)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

8、綜上，存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)與圓的綜合題，解決本題的關(guān)鍵是：作出將劣弧沿軸翻折后的弧所在圓⊙，并充分利用軸對稱的性質(zhì)．本題考點(diǎn)：1．直線與圓的位置關(guān)系(切線的性質(zhì))；2．軸對稱；3．等腰直角三角形的性