數(shù)學(xué)建模簡介(2).doc

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1、數(shù)學(xué)建模簡介(2)一、數(shù)學(xué)模型的概念和意義1、數(shù)學(xué)模型的概念隨著數(shù)學(xué)建模競賽影響的日益擴(kuò)大，數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)建模已為越來越多的人所知曉。但對于大多數(shù)的人而言，數(shù)學(xué)模型仍是一個看似高深的概念。因為在一般人的思維中，與模型有關(guān)的是飛機(jī)、艦艇或者航空、航海等字眼，是一個看得見摸得著的東西，雖然有別于實物，但畢竟是現(xiàn)實的。而數(shù)學(xué)給人的印象是公式，是理論，這兩者是如何聯(lián)系起來的呢？其實數(shù)學(xué)模型對每個人而言都是非常熟悉的，在上小學(xué)時我們都曾經(jīng)做過這樣的題目：“從甲地到乙地距離100公里，汽車的速度為每小時20公里，問從甲地到乙地需多少時間？”解答這類應(yīng)用題便是最簡單、最基本的數(shù)學(xué)建模

2、問題，而在此過程中得到的數(shù)學(xué)式子便是我們建立的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的定義可以描述為，對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)【1】。2、建立數(shù)學(xué)模型的意義馬克思曾說過：“一門科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了完善的地步”?？梢哉J(rèn)為數(shù)學(xué)在各門科學(xué)中被應(yīng)用的水平，標(biāo)志著這門科學(xué)發(fā)展的水平?；仡櫩茖W(xué)發(fā)展的歷史，物理學(xué)是最早與數(shù)學(xué)結(jié)合的科學(xué)。力學(xué)，這是物理學(xué)里面最先完成精確化的一個分支，是最先從物理學(xué)中獨立出來，成為一門單獨學(xué)科的。隨后，光學(xué)、熱學(xué)、聲學(xué)、電磁學(xué)等學(xué)科也由于數(shù)學(xué)方法的加入，

3、逐一從物理學(xué)的母體中脫胎而出。由伽利略開創(chuàng)而由牛頓完成的經(jīng)典力學(xué)體系，是近代科學(xué)發(fā)展初期應(yīng)用數(shù)學(xué)的必然結(jié)果。牛頓把他的力學(xué)著作稱之為《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，說明他對數(shù)學(xué)的高度重視，也反映了這門學(xué)科的精確化水平。牛頓是以他的力學(xué)三大定律聞名于世的，作為一個偉大的物理學(xué)家，數(shù)學(xué)中也深深地留下了他的烙印，即微積分的牛頓－萊布尼茲公式。在整個十八、十九世紀(jì)，是牛頓力學(xué)體系絕對統(tǒng)治物理科學(xué)的時期。這期間，力學(xué)和數(shù)學(xué)相互帶動，彼此促進(jìn)，成為科學(xué)發(fā)展史上得天獨厚的一對。與此同時，數(shù)學(xué)被逐漸推廣到物理學(xué)的替他學(xué)科，如熱學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)，使這些學(xué)科也欣欣向榮，茁壯成長起來。以傅立葉

4、、麥克斯韋和玻耳茲曼等人為代表，把數(shù)學(xué)應(yīng)用到熱學(xué)、電磁學(xué)和分子運(yùn)動論中，因而物理學(xué)獲得了一系列重要成果。二十世紀(jì)，愛因斯坦創(chuàng)立的相對論，就是運(yùn)用偏微分方程、張量分析和黎曼幾何等新的數(shù)學(xué)工具，以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)的物理理論，從而使人類對物質(zhì)運(yùn)動的認(rèn)識從宏觀低速領(lǐng)域發(fā)展到宇觀高速領(lǐng)域，使整個自然科學(xué)開始了一場嶄新的革命。1916年，愛因斯坦通過引進(jìn)非歐幾何這一新數(shù)學(xué)理論，從而把引力和幾何概念聯(lián)系在一起；1925年，量子力學(xué)中引進(jìn)了Hilbert空間，才使這門描述微觀物體運(yùn)動規(guī)律的新學(xué)科建立起完整的理論體系。隨著量子力學(xué)的理論與方法被引入化學(xué)領(lǐng)域，誕生了量子化學(xué)以后，現(xiàn)代化學(xué)

5、的面貌發(fā)生了根本性的變化。特別是它根據(jù)量子力學(xué)中的薛定諤方程來計算分子間電子運(yùn)動的規(guī)律。這樣，量子化學(xué)既能從量子理論上做計算，又能對一百多年來所積累的大量實踐經(jīng)驗和知識給予總結(jié)，而且還能進(jìn)行科學(xué)預(yù)見?；瘜W(xué)這門古老的“經(jīng)驗科學(xué)”，在數(shù)學(xué)方法的幫助下，正在轉(zhuǎn)化為嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)的精確科學(xué)。一百多年以前，數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的應(yīng)用是很少的。但是在今天，生物學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的情況較之那時已形成鮮明的對比。十九世紀(jì)達(dá)爾文提出的進(jìn)化論，只不過是應(yīng)用了比較的方法，也就是主要通過生物的外形習(xí)性等各種的比較，來判斷生物間的親緣關(guān)系。近年來，運(yùn)用數(shù)學(xué)來定量地研究不同種生物的親緣關(guān)系，使生物進(jìn)化論有了可靠

6、的科學(xué)依據(jù)。在生態(tài)學(xué)中，已知動物的自然生長率及其相互影響的效能，就能夠建立數(shù)學(xué)模型，刻畫生態(tài)平衡關(guān)系。生物學(xué)中誕生生物數(shù)學(xué)，以及由此派生出的數(shù)量遺傳學(xué)、分子生物數(shù)學(xué)、生物運(yùn)籌學(xué)等小的學(xué)科分支。這個世紀(jì)，也許將是生物學(xué)的世紀(jì)。在自然科學(xué)日益精確化的形勢下，社會科學(xué)也變得日益依賴數(shù)學(xué)了。不論社會現(xiàn)象比自然現(xiàn)象如何復(fù)雜，也不論社會科學(xué)不具有自然科學(xué)掌握規(guī)律的量的精確性這一差別怎樣明顯，然而隨著數(shù)學(xué)方法日益滲入社會科學(xué)，社會科學(xué)的數(shù)學(xué)化也是大勢所趨，不可阻擋。數(shù)學(xué)方法滲入經(jīng)濟(jì)科學(xué)領(lǐng)域，誕生了新的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)方法，這是符合經(jīng)濟(jì)需要的專門的數(shù)學(xué)工具，它包括計量經(jīng)濟(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)控制論和數(shù)學(xué)規(guī)

7、劃。系統(tǒng)論、信息論和控制論等方法性學(xué)科的迅速崛起；運(yùn)籌學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)分支在國民經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，更加說明數(shù)學(xué)已成為明顯的社會推動力。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，特別是計算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)已經(jīng)從滲透到自然科學(xué)技術(shù)到工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)建設(shè)，從經(jīng)濟(jì)活動到社會生活的各個領(lǐng)域。一般地說，當(dāng)實際問題需要我們對所研究的現(xiàn)實對象提供分析、預(yù)報、決策、控制等方面的定量結(jié)果時，往往都離不開數(shù)學(xué)的應(yīng)用，而建立數(shù)學(xué)模型則是這個過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。二、數(shù)學(xué)模型建立的全過程數(shù)學(xué)模型的建立一般可以分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段，并且通過這些階段完成對現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型，