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1、2012西城一模理北京市西城區(qū)2012年高三一模試卷數學（理科）2012.4第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．已知全集，集合，則（）（A）（B）（C）（D）2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為（）（A）2（B）5（C）11（D）233．若實數，滿足條件則的最大值為（）（A）9（B）3（C）0（D）－34．已知正六棱柱的底面邊長和側棱長相等，體積為．其三視圖中的俯視圖如圖所示，則其左視圖的面積是（）（A）（B）（C）
2、（D）5．已知函數的最小正周期是，那么正數（）（A）2（B）1（C）（D）6．若，，，則下列結論正確的是（）（A）（B）（C）（D）7．設等比數列的各項均為正數，公比為，前項和為．若對，有，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）8．已知集合，其中，且.則中所有元素之和等于（）（A）3240（B）3120（C）2997（D）2889第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9．某年級名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間．將測試結果分成組：，，，，，得到如圖所示的頻
3、率分布直方圖．如果從左到右的個小矩形的面積之比為，那么成績在的學生人數是_____．10．的展開式中，的系數是_____．（用數字作答）11．如圖，為⊙的直徑，，弦交于點．若，，則_____．12．在極坐標系中，極點到直線的距離是_____．13．已知函數其中．那么的零點是_____62012西城一模理；若的值域是，則的取值范圍是_____．14．在直角坐標系中，動點，?分別在射線和上運動，且△的面積為．則點，的橫坐標之積為_____；△周長的最小值是_____．三、解答題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明
4、，演算步驟或證明過程.15.（本小題滿分13分）在△中，已知．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求．16.（本小題滿分13分）乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進行，比賽采用局勝制（即先勝局者獲勝，比賽結束），假設兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同.（Ⅰ）求甲以比獲勝的概率；（Ⅱ）求乙獲勝且比賽局數多于局的概率；（Ⅲ）求比賽局數的分布列.17．（本小題滿分14分）如圖，四邊形與均為菱形，，且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．18.（本小題滿分13分）已知函數，其中.（Ⅰ）當時，求曲線在點處的
5、切線方程；（Ⅱ）求的單調區(qū)間.19.（本小題滿分14分）已知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點且斜率不為的直線交橢圓于，兩點.試問軸上是否存在定點，使平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.20.（本小題滿分13分）對于數列，定義“變換”：將數列變換成數列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對數列進行“變換”，得到數列，…，依此類推，當得到的數列各項均為時變換結束．（Ⅰ）試問和經過不斷的“變換”能否結束？若能，請依次寫出經過“變換”得到的各數列；若不能，說明理由
6、；（Ⅱ）求經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件；（Ⅲ）證明：一定能經過有限次“變換”后結束．62012西城一模理北京市西城區(qū)2012年高三一模試卷數學（理科）參考答案及評分標準2012.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1.C；2.D；3.A；4.A；5.B；6.D；7.A；8.D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.54；10.－160；11.1；12.；13.和，；14.，.注：13題、14題第一問2分，第二問3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.15.（本小題滿
7、分13分）（Ⅰ）解：原式可化為．………………3分因為，所以，所以．………………5分因為，所以．………………6分（Ⅱ）解：由余弦定理，得．………………8分因為，，所以．………………10分因為，………………12分所以．………………13分16.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是．………………1分記“甲以比獲勝”為事件，則．………………4分（Ⅱ）解：記“乙獲勝且比賽局數多于局”為事件.因為，乙以比獲勝的概率為，………………6分乙以比獲勝的概率為，………………7分所以．……
8、…………8分（Ⅲ）解：設比賽的局數為，則的可能取值為．，………………9分，………………10分，………………11分．………………12分62012西城一模理比賽局數的分布列為：………………13分17.（本小題滿分14分）（Ⅰ）證明：設與相交于點，連結．因為四邊形為菱形，所以，且為中點．………1分又，所以．………3分因為，所以平面．………………4分（Ⅱ）證明：因為四邊形與均為菱形，所以//，
