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1、第二講插值與數(shù)據(jù)擬合模型函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學方法上是完全不同的。而面對一個實際問題，究竟用插值還是擬合，有時容易確定，有時則并不明顯。在數(shù)學建模過程中，常常需要確定一個變量依存于另一個或更多的變量的關系，即函數(shù)。但實際上確定函數(shù)的形式（線性形式、乘法形式、冪指形式或其它形式）時往往沒有先驗的依據(jù)。只能在收集的實際數(shù)據(jù)的基礎上對若干合乎理論的形式進行試驗，從中選擇一個最能擬合有關數(shù)據(jù)，即最有可能反映實際問題的函數(shù)形式，這就是數(shù)據(jù)擬合問題。一、插值方法簡介插值問題的提法
2、是，已知個節(jié)點n?1(x,y),j?0,1,2,?,n，其中互不相x同，不妨設jjja?x?x???x?b，求任一插值點處的插值x*(?x)y*。(x,y)可以看成是由某個函01njjj數(shù)y?g(x)產(chǎn)生的，g的解析表達式可能十分復雜，或不存在封閉形式。也可以未知。求解的基本思路是，構造一個相對簡單的函數(shù)y?f(x)，使通過全部f節(jié)點，即f(x)?y(j?0,1,2,?,n)，再由計算插f(x)值，即y*?f(x*)。jj1．拉格朗日多項式插值插值多項式從理論和計算的角度看，多項式是最簡單的函數(shù)，設是n次多f(x)項式，記作nn?1
3、L(x)?ax?ax???ax?a（1）nnn?110對于節(jié)點應(x,y)有jjL(x)?y,j?0,1,2,?,n（2）njj為了確定插值多項式中L(x)的系數(shù)a,a,?,a,a，將（1）代入（2），有nnn?110nn?ax?ax???ax?a?yn0n?101000?nn?anx1?an?1x1???a1x1?a0?y1?（3）?????????nnax?ax???ax?a?y?nnn?1n1n0n記nn?1?xx?1??00?nn?1?x1x1?1?TTX?,A?(a,a,?,a),Y?(y,y,?,y)??nn?1001n
4、???????nn?1?xx?1?nn?方程組（3）簡寫成XA?Y（4）注意是VadetXndermonde行列式，利用行列式性質可得detX??(xk?xj)0?j?k?n因互不相同x，故detX?0，于是方程（4）中A有唯一解，即根據(jù)個節(jié)n?1點可以確定唯一j的n次插值多項式。拉格朗日插值多項式實際上比較方便的做法不是解方程（4）求A，而是先構造一組基函數(shù)：(x?x)?(x?x)(x?x)?(x?x)0i?1i?1nl(x)?,i?0,1,2,?,n（5）i(x?x)?(x?x)(x?x)?(x?x)i0ii?1ii?1inl(
5、x)是n次多項式，滿足i?1,i?jli(xj)??i,j?0,1,2,?,n（6）?0,i?j令nLn(x)??yili(x)（7）i?0顯然是滿足L(x)（2）的n次多項式，由方程（4）解的唯一性，（7）式表示的的L(x)解與nn（1）式相同。（5）、（7）稱拉格朗日插值多項式，用計算插值L(x)稱拉格朗日多項式插值n。誤差估計插值的誤差通過插值多項式與產(chǎn)生L(x)節(jié)點的之差(x,y)g(x)來估計，記作R(x)。雖njjn然我們可能不知道的g(x)解析表達式，但不妨設充g(x)分光滑，具有階導數(shù)n?1。利用泰勒展開可以推出，對
6、于任意x?[a,b]。(n?1)ng(?)Rn(x)?g(x)?Ln(x)??(x?xj)??(a,b)（8）(n?1)!j?0若可以估計(n?1)
7、g(?)
8、?M（9）n?1則nMn?1
9、Rn(x)
10、??
11、x?xj
12、,??(a,b)（10）(n?1)!j?0實際上因為M常難以確定，所以（10）式并不能給出精確的誤差估計。但是可能看出，n?1n增加，
13、R(x)
14、減少；g越光滑，M越小，
15、R(x)
16、越小；x越接近x，
17、R(x)
18、越小。nn?1njn???例將區(qū)間n等?0,?分，用產(chǎn)生個節(jié)y?g(x)?cosxn?1點，然后作拉格朗日插
19、值多?2??項式。用L(x)計算cos（取4位有效數(shù)字）。估計
20、R(x)
21、（取n?1,2）。nn6???解若n?1，則(x0,y0)?(0,1),(x1,y1)??,0?。由（5）、（7）式?2??x?2x?02xL(x)?yl?yl?1??0??1?10011???0??022????cos?L1???0.66676?6???????若n?2，則(x0,y0)?(0,1)，(x1,y1)??,0.7071?,(x2,y2)??,0?，由（5）、（7）式。?4??2????????????x???x??(x?0)?x??(x?0)(
22、x?)?4??2??2?4L(x)?yl?yl?yl?1??0.7071??0?2001122?????????????????????0???0????0??????0?????4??2??4??42??2??24?8??????1
