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《微分方程求解》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、高等教育出版社教育電子音像出版社作者:任玉杰第十章常微分方程(組)求解第十章常微分方程(組)求解微分方程在科技、工程、經(jīng)濟管理以及生態(tài)、環(huán)境、人口、交通等各個領(lǐng)域中常用于建立數(shù)學(xué)模型,它是研究函數(shù)變化規(guī)律的有力工具.如在研究彈性物體的振動,電阻、電容、電感電路的瞬變,熱量在介質(zhì)中的傳播,拋射體的軌跡,以及污染物濃度的變化,人口增長的預(yù)測,種群數(shù)量的演變,交通流量的控制等等過程中,作為研究對象的函數(shù),要和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一起,用一個符合其內(nèi)在規(guī)律的方程,即微分方程來描述.建立微分方程只是解決問題的第一步,通常需要求出方程的解來說明實際現(xiàn)象,
2、并加以檢驗.如果能得到解析解固然是便于分析和應(yīng)用的,但是我們知道,只有線性常系數(shù)微分方程,并且自由項是某些特殊類型的函數(shù)時,才可以肯定得到這樣的解,而絕大多數(shù)變系數(shù)方程、非線性方程都很難得到解析解.另外,有時即使能求出解析解,也會由于很難從解析解中計算函數(shù)的值而不實用.例如,容易求出初值問題的解為eed.但是,對于給定的,要計算函數(shù)值還需要用數(shù)值積分的方法.于是對于用微分方程解決實際問題來說,數(shù)值解法就是一個十分重要的手段.為了將微分方程的數(shù)值解與解析解比較,本章首先簡單介紹用MATLAB解微分方程的解析解(符號解)的方法,然后重點
3、介紹用MATLAB程序計算微分方程的數(shù)值解法.10.1常微分方程(組)的MATLAB符號求解在MATLAB系統(tǒng)中提供了常微分方程(組)符號解(Symbolicsolutionofordinarydifferentialequations)的函數(shù)dsolve.在調(diào)用此函數(shù)前,必須首先將給定的常微分方程(組)中的一階導(dǎo)數(shù)用D表示,例如,寫成Dy.階導(dǎo)數(shù)用Dn表示,例如,表示為D6y.由此,常微分方程寫成DD.下面具體介紹函數(shù)dsolve解常微分方程(組)的方法.10.1.1用MATLAB求常微分方程(組)的通解用MATLAB函數(shù)dsol
4、ve求常微分方程(10.1)的通解的主要調(diào)用格式如下:調(diào)用格式一:S=dsolve('eqn','var')輸入的量:eqn是常微分方程(10.1)改用符號方程表示的常微分方程DDD.Var表示自變量,默認的自變量為t.輸出的量:S是常微分方程(10.1)的通解.求常微分方程組300.高等教育出版社教育電子音像出版社作者:任玉杰第十章常微分方程(組)求解(10.2)的通解的主要調(diào)用格式如下:調(diào)用格式二:S=dsolve('eqn1','eqn2',...,'eqnm','var')輸入的量:eqn1,eqn2,...,eqnm分別是
5、常微分方程組(10.2)中用符號方程表示的個常微分方程.默認的自變量為t,也可以將自變量t變?yōu)槠渌姆栕兞縱ar.輸出的量:S是常微分方程組(10.2)的通解.10.1.2用MATLAB求常微分方程(組)的特解如果給定常微分方程(10.1)的初始條件(10.3)則求方程(10.1)的特解的主要調(diào)用格式如下:調(diào)用格式三:S=dsolve('eqn','condition1',…,'conditionn','var')輸入的量:eqn是常微分方程(10.1)改用符號方程表示的常微分方程DDD;condition1,…,conditio
6、nn是初始條件(10.3);Var表示自變量,默認的自變量為t.輸出的量:S是常微分方程(10.1)的特解.同理,如果給定常微分方程組(10.2)的初始條件,則求方程(10.2)的特解的主要調(diào)用格式如下:調(diào)用格式四:S=dsolve('eqn1','eqn2',...,'eqnm','condition1','condition2',…,'var')輸入的量:eqn1,eqn2,...,eqnm分別是常微分方程組(10.2)中用符號方程表示的個常微分方程;condition1,condition2,…是常微分方程組(10.2)的初始
7、條件;默認的自變量為t,也可以將自變量t變?yōu)槠渌姆栕兞縱ar.輸出的量:S是常微分方程組(10.2)的特解.10.1.3線性常微分方程組的解法如果線性常微分方程組中的未知量較多,用上面的求解方法就不方便,這時我們可以用下面介紹的求解齊次線性常微分方程組和非齊次線性常微分方程組的方法求解.求解齊次線性常微分方程組的MATLAB主程序輸入量:A是齊次線性常微分方程組的矩陣.輸出量:X是的解,E是矩陣的特征值,V是矩陣的特征向量.名為qcxxcwz.m的求解齊次線性常微分方程組的MATLAB主程序如下:function[X,E,V]=
8、qcxxcwz(A)symsxE=eig(A);[V,n]=eig(A);X=exp(E*x)'*V;10.3歐拉(Euler)方法的MATLAB程序歐拉方法300.高等教育出版社教育電子音像出版社作者:任玉杰第十章常微分方程(組)求