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《法向量法求二面角》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、設(shè)，則有（圖1）或（圖2）分別為平面α,β的法向量，二面角，大小為向量的夾角為θβlαθβlα一.利用法向量求二面角的大小的原理:基本結(jié)論構(gòu)成二面角的兩個平面的法向量的夾角或夾角的補角等于這個二面角的平面角．圖1圖2，θβlαθβlα一.利用法向量求二面角的大小的原理:圖1圖2約定，圖1中，的方向?qū)ζ矫姒炼韵騼?nèi).的方向?qū)ζ矫姒炼韵騼?nèi).的方向?qū)ζ矫姒炼韵騼?nèi).的方向?qū)ζ矫姒炼韵蛲?圖2二.如何求平面的一個法向量:1、定義：如果表示向量平面α的法向量共有兩大類（從方向上分），無數(shù)條。這時向量叫做平面α的法向量.的有向線段所在的直線垂直于平面α
2、,稱這個向量垂直于平面α,記作⊥α,個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定如圖,設(shè)=(x1,y1,z1)、=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩理知,若且則換句話說,若且則可按如下步驟求出平面的法向量的坐標.第二步(列):根據(jù)可列出方程組第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當然取得越特的坐標.=(x,y,z).第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標為且第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.殊越好),便得到平面法向量例題1:如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中G、E、F分別為AA1、AB、BC的中點，求平面GEF的法向量。DABCA1
3、B1C1D1GEFxyz以D為原點建立右手空間直角坐標系，如圖所示，解：DABCA1B1C1D1GEFxyz則不妨設(shè)正方體的棱長為一個單位長度由此得設(shè)平面的法向量為由可得令y=1,取平面的一個法向量為注：因為平面的法向量有無數(shù)個，方向可上，可下，?？纱罂尚?，我們只要求出平面的某個法向量即可.例題4.在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,點Q是BC的中點，求此時二面角A—A1D—Q的大小．O（A）BA1C1B1D1DCQzyx解：如圖2，建立空間直角坐標系．依題意：A1（0，0，2），Q（2，2，0），D（0，4，
4、0），242面AA1D的法向量設(shè)面A1DQ的法向量為則令a1=1，則二面角的平面角為銳角∴二面角A—A1D—Q的大小為．AzyxDCBS圖5例5如圖5，在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，AB=BC=1，求側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的大小。解：以A為原點如圖建立空間直角坐標系，AzyxDCBS圖5則11顯然平面SBA的一個法向量為設(shè)平面SCD的一個法向量為則則根據(jù)題意知，側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的大小的大小為評析：因為所求的二面角的交線在圖中較難作出，所以用傳統(tǒng)的方法求二面角比
5、較困難，向量法在這里就體現(xiàn)出它特有的優(yōu)勢ADCBS圖5E解：延長BA，CD交于E，則面SCD∩面SBA=SE.111易求得F過A作AF⊥SE于F，連結(jié)DF則DF⊥SE.ADCBS圖5E111F∠DFA即為側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的平面角.在RT△SAE中，在RT△AFD中，側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的大小為
