小學(xué)奧數(shù)36個(gè)經(jīng)典（33-36）

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1、第33講計(jì)數(shù)綜合（二）內(nèi)容概述利用對(duì)應(yīng)法求解的計(jì)數(shù)問(wèn)題.所謂對(duì)應(yīng)法,即建立起所考察對(duì)象和另一類(lèi)對(duì)象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)對(duì)后者的計(jì)數(shù)而求得問(wèn)題的答案.與平面和立體圖形相關(guān)的復(fù)雜計(jì)數(shù)問(wèn)題,其他具有相當(dāng)難度的計(jì)數(shù)綜合題．典型問(wèn)題2.小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?[分析與解]我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中9個(gè)間隙中的某個(gè)位置插入“木棍”,則將lO塊糖分成了兩部分．我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○

2、○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○

3、○○○

4、○○

5、○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不難知曉,每一種插入方法對(duì)應(yīng)一種吃法,而9個(gè)間隙,每個(gè)間隙可以插人也可以不插入,且相互獨(dú)立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法．4.在8×8的方格表中,取出一個(gè)如圖33-1所示的由3個(gè)小方格組成的“L”形,一共有多少種不同的方法?【分析與解】觀察發(fā)現(xiàn),對(duì)于每個(gè)“L”形,都有一個(gè)點(diǎn)M與其對(duì)應(yīng),而每個(gè)2×2的方格中,M點(diǎn)都對(duì)應(yīng)4個(gè)不同的“L”.在8×8的方格中,類(lèi)似M點(diǎn)的交叉點(diǎn)有7×7=49個(gè)(不包括邊上的交叉點(diǎn))．所以共有“L”形4×49=196種不同的取法．評(píng)注:通過(guò)上面兩個(gè)范例我們知道,當(dāng)直接

6、去求一個(gè)集合元素的個(gè)數(shù)較為困難的時(shí)候,可考慮采用相等的原則,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求另一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)．6.有一批規(guī)格相同的均勻圓棒,每根劃分成相同的5節(jié),每節(jié)用紅、黃、藍(lán)3種顏色中的一種來(lái)涂.問(wèn)可以得到多少種著色方式不同的圓棒?【分析與解】如圖每根原棒的5節(jié)記為A、B、C、D、E,特別得注意到原棒可以14左右倒置，即有可能與是同種情況．不難得知,當(dāng)原棒上的5節(jié)對(duì)稱(chēng)時(shí),即與是同種情況.①,其中A有3種顏色可選,B也有3種顏色可選,C還是有3種顏色可選,故有3×3×3=27種不同的染法．②考慮不對(duì)稱(chēng)時(shí)則A有3種原色可選，B、C、D、E也各有3種顏色可選,于是有3×3×3×3×3=243

7、種不同的染法．所以,其中不對(duì)稱(chēng)有243-27=216種,不對(duì)稱(chēng)的與重復(fù)計(jì)算了,而對(duì)稱(chēng)的沒(méi)有重復(fù)計(jì)算．所以,共有216÷2+27=135種實(shí)質(zhì)不同的著色方式．8.如圖33-3,八面體有12條棱,6個(gè)頂點(diǎn).一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā),沿棱爬行,要求恰好經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)一次.問(wèn)共有多少種不同的走法?【分析與解】AB,AD,AE,AF,這4類(lèi)走法,每類(lèi)走法的種數(shù)一樣多，所以只用考察AB的后續(xù)步驟有多少種：BECDF，BECFD,BEDFC,BEDCF,BFDEC，BFDCE，BFCED，BFCDE,BCEDF，BCFDE(從BC后三步只能是順時(shí)針或逆時(shí)針,只用2種).共10種．所以從A點(diǎn)出發(fā)共

8、有10×4=40種不同的滿足題中條件的走法10.某玩具廠生產(chǎn)大小一樣的正方體形狀的積木,每個(gè)面分別涂上紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種,每色各涂?jī)蓚€(gè)面.當(dāng)兩個(gè)積木經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆瓌?dòng)以后,能使各種顏色的面所在位置相同時(shí),它們就被看作是同一種積木塊.試說(shuō)明:最多能涂成多少種不同的積木塊?【分析與解】總可以使下底面為紅色．如果上底面也是紅色,通過(guò)翻過(guò),可以使前面為黃色,左面不是黃色,這時(shí)后面可以是黃色,也可以是藍(lán)色,有2種．14如果上底面不是紅色,通過(guò)旋轉(zhuǎn),可以使后面為紅色.這時(shí)又分兩種情況：(1)前面與上面同色,可以同為黃色,也可以同為藍(lán)色,有2種．(2)前面與上面不同色,通過(guò)翻動(dòng),可以使

9、上面為黃色,前面為藍(lán)色這時(shí)右面可以是黃色,也可以是藍(lán)色，有2種．因此,共可涂成2+2+2=6種不同的積木塊．12.有8個(gè)隊(duì)參加比賽,采用如圖33-4所示的淘汰制方式.問(wèn)在比賽前抽簽時(shí),可以得到多少種實(shí)質(zhì)不同的比賽安排表?【分析與解】我們標(biāo)上字母,如下圖．如果全排列為=8！因?yàn)锳,B；B,A實(shí)質(zhì)賽程一樣；同理C/D,E/F,G/H,I/J,K/L,M/N均是,所以除以7個(gè)2．于是,共有8！÷27=315種實(shí)質(zhì)不同的賽程安排．14.游樂(lè)園的門(mén)票1元1張,每人限購(gòu)1張.現(xiàn)在有10個(gè)小朋友排隊(duì)購(gòu)票,其中5個(gè)小朋友只有1元的鈔票,另外5個(gè)小朋友只有2元的鈔票,售票員沒(méi)有準(zhǔn)備零錢(qián).問(wèn)有多

10、少種排隊(duì)方法,使售票員總能找得開(kāi)零錢(qián)?【分析與解】方法一:按第一個(gè)帶2元鈔票的小朋友前面有幾個(gè)小朋友來(lái)確定排隊(duì)的方案,共有五個(gè)方案：①帶1元的5個(gè)小朋友都排在前邊,即1111l22222,只有1種情況；⑦帶1元的小朋友有4個(gè)排在前面,即1111212222,1111221222,1111222122,1111222212，共有4種情況；③帶1元的小朋友有3個(gè)排在前邊,如1112112222,…，共有9種情況；④帶1元的小朋友有2個(gè)排在前邊,如1121112222,…，共有14種情況；⑤帶1元的小朋友只有