《2.2.2反證法》課件4

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1、2.2.2反證法路邊苦李王戎7歲時(shí),與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹(shù)上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動(dòng).伙伴問(wèn)他為什么不去摘？王戎回答說(shuō):“樹(shù)在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下,果然是苦李.王戎是怎么知道李子是苦的呢?他運(yùn)用了怎樣的推理方法?王戎的推理方法是:假設(shè)李子不苦,則因樹(shù)在“道”邊,李子早就被別人采摘而沒(méi)有了,這與“多李”產(chǎn)生矛盾.所以假設(shè)不成立,李為苦李.1.反證法的定義.2.反證法的一般步驟.（重點(diǎn)）3.運(yùn)用反證法的注意事項(xiàng).（難點(diǎn)）探究點(diǎn)1反證法的定義引例：證明：在一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角不小于60°.已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角

2、.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)不小于60°.證明：假設(shè)的三個(gè)內(nèi)角∠A，∠B，∠C都小于60°，則有∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°所以∠A+∠B+∠C<180°這與　　　　相矛盾.三角形內(nèi)角和等于180°所以假設(shè)不成立，所求證的結(jié)論成立.先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的，然后通過(guò)邏輯推理，推出與公理、已證的定理、定義或已知條件相矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立，從而得到原結(jié)論正確.這種證明方法就是——反證法把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱(chēng)為間接證明.注：反證法是最常見(jiàn)的間接證法.一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾.因此說(shuō)明

3、假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.反證法否定結(jié)論——推出矛盾——肯定結(jié)論即分三個(gè)步驟：反設(shè)—?dú)w謬—存真反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立；歸謬——從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，得出矛盾；反證法的證明過(guò)程存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而肯定原結(jié)論成立.歸謬矛盾：（1）與已知條件矛盾.（2）與假設(shè)矛盾或自相矛盾.（3）與已有公理、定理、定義、事實(shí)矛盾.反證法的思維方法：正難則反.你能說(shuō)出下列結(jié)論的反面嗎?a⊥b2.d是正數(shù)3.a≥04.a∥ba不垂直于bd不是正數(shù),即d≤0a＜0a不平行b萬(wàn)事開(kāi)頭難，讓我們走好第一步！探究點(diǎn)2反證法的應(yīng)用常用的互為否定的表述方式：至少

4、有三個(gè)——最多有一個(gè)——至多有兩個(gè)至少有兩個(gè)原詞語(yǔ)否定詞原詞語(yǔ)否定詞等于任意的是至少有一個(gè)都是至多有一個(gè)大于至少有n個(gè)小于至多有n個(gè)對(duì)所有x,成立對(duì)任何x，不成立準(zhǔn)確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)是非常重要的，下面是一些常見(jiàn)的結(jié)論的否定形式.不是不都是不大于大于或等于一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)至多有（n-1)個(gè)至少有（n+1)個(gè)存在某x，不成立存在某x,成立不等于某個(gè)證明：因?yàn)閍∥b所以經(jīng)過(guò)直線a,b確定一個(gè)平面.因?yàn)?而，所以與是兩個(gè)不同的平面.因?yàn)?，所?例1已知直線a，b和平面,如果,且,求證:.abP下面用反證法證明直線a與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，假設(shè)直線a與平面有公共點(diǎn)P，則P，即點(diǎn)P是直線a與b的公共

5、點(diǎn)，這與a∥b矛盾，所以a∥.分析：直接證明一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)比較困難，我們采用反證法.假設(shè)不是無(wú)理數(shù)，那么它就是有理數(shù).我們知道，任一有理數(shù)都可以寫(xiě)成形如（m,n互質(zhì)，m∈Z,n∈N*)的形式.下面我們看看能否由此推出矛盾.證明：假設(shè)不是無(wú)理數(shù)，那么它就是有理數(shù).于是，存在互質(zhì)的正整數(shù)m,n使得，從而有反證法的一般步驟先假設(shè)命題的結(jié)論不成立從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理得出矛盾否定假設(shè)肯定原命題分清條件和結(jié)論【總結(jié)提升】宜用反證法證明的題型（1）以否定性判斷作為結(jié)論的命題.（2）某些定理的逆命題.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陳述的命題.（4）關(guān)于“唯一性”結(jié)論的命題.（8）涉及各種“無(wú)限”

6、結(jié)論的命題等.（7）有些基本定理或某一知識(shí)體系的初始階段.（6）一些不等量命題的證明.（5）解決整除性問(wèn)題.1.“a＜b”的反面應(yīng)是（）a≠b或a＞bB.a＞bC.a=bD.a=b或a＞b2.用反證法證明命題“三角形中最多有一個(gè)是直角”時(shí)，應(yīng)假設(shè)____________.D三角形中有兩個(gè)或三個(gè)角是直角3.否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)為（）A.a，b，c都是奇數(shù)B.a，b，c都是偶數(shù)C.a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D.a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)D4.如圖，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是銳角.證明：假設(shè)結(jié)論不成立,則∠B是直角或鈍角.當(dāng)∠B是直角時(shí)，則∠

7、B+∠C=180°，這與三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°矛盾；當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，則∠B+∠C＞180°，這與三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°矛盾；綜上所述,假設(shè)不成立.所以∠B一定是銳角.分析:假設(shè)C沒(méi)有撒謊,則C真.那么A假且B假;由A假,知B真.這與B假矛盾.那么假設(shè)C沒(méi)有撒謊不成立;則C必定是在撒謊.5.A、B、C三個(gè)人，A說(shuō)B撒謊，B說(shuō)C撒謊，C說(shuō)A,B都撒謊。則C必定是在撒謊，為什么？1.反證