[上海大學]上海大學高等代數(shù)歷年考研真題xxxx-xxxx

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1、2000上海大學高等代數(shù)(一)計算行列式:(二)把二次型用非退化線性替換化成平方和.(三)分別為和矩陣,表示單位矩陣.證明:階矩陣可逆當且僅當可逆，可逆時求出的逆.(四)設是維線性空間的一組基，對任意個向量，證明：存在唯一的線性變換，使得(五)設是維線性空間的線性變換，求證：當且僅當若為的一組基則是的一組基.(六)設為級實方陣，適合，求證：相似于.(七)已知均為線性空間上線性變換，滿足試證：（1）與有相同的值域.（2）與有相同的核.2001上海大學高等代數(shù)（一）計算行列式：（二）設為階非零方陣，且.14（1）求證：存在，，（2）求方程組的基礎解系.（三

2、）用正交的線性替換化二次行為標準形（四）設為階實矩陣，且.若，求證.（五）設是（為奇數(shù)）維線性空間上線性變換，若求證：存在，使為的一組基，并求在此組基下的矩陣.（六）設是歐式空間上的對稱變換.求證：對任意，都有的所有特征值都小于0.（七）設，其中為階負定矩陣，為維列實向量，為實數(shù).求證正定的充分必要條件為.（八）若是正交陣，且特征值為1的重數(shù)是，求證：（為的行列式）.2002上海大學高等代數(shù)（一）計算行列式：若，求.（二）設是階可逆方陣，.（1）計算（是整數(shù)），14（2）假設，為階方陣，而且，求.（三）設，是階矩陣（），求的基礎解系.（四）構造一個階實

3、對稱方陣，使其特征值為1，1，-1.并且對應的特征值有特征向量，.（五）設向量組：的秩為（），則中任意個向量線性無關的充分必要條件為：對任意向量，若，則或全為0或全不為0.（六）設為階正定矩陣，為秩為的實矩陣，求證（，為單位矩陣）為正定矩陣.（七）設為歐式空間上的線性變換，且.（1）求證：是上的正交變換的充分必要條件為是上的對稱變換.（2）設，求證：是直和.（八）設為階實正交矩陣，為維列向量，且線性無關，若線性無關，則.2003上海大學高等代數(shù)（一）計算行列式：（為階矩陣），（1）求（2）求（二）設為階反對稱矩陣，求.14（三）設為階整數(shù)方陣（中元素為

4、整數(shù)），若（1）求證：，（2）若，求.（四）設為階方陣，，且，求的解.（五）設是階可逆方陣，且每行元素之和為，求證：的每行元素之和為（為正整數(shù)）（六）設為階正交矩陣，若.證明：存在正交矩陣使.（七）設，且為階方陣，.（1）求證：（2）求證：（3）若，求的解.（八）構造一個階實對稱方陣，使其特征值為2，1，1，且有特征向量.（九）設二次型（1）求對應的實對稱矩陣.（2）求正交變換，將化為標準型.（十）設是維線性空間上的線性變換，是對應的不同特征值的特征向量.若，而是的不變子空間，則有維（）（十一）設為歐式空間上的變換，為歐式空間上的線性變換且有：.證明：

5、（1）為歐式空間上的線性變換.（2）142004上海大學高等代數(shù)（一）設階可逆方陣中每一行元素之和為，證明：（1），其中為的代數(shù)余子式.（2）如果都是整數(shù)，則整除.（二）設為實矩陣，且.（1）求行列式.（2）求的解（是維列向量）.（三）設為階整數(shù)方陣，若.（1）求證：.（2）若，求.（四）若為非零的半正定矩陣，為正定矩陣，求證：（1）求證：存在實矩陣，使.（2）.（3）.（五）設為的特征值的最小者.求證:對任意的維列向量,有.(六)設為階方陣的特征值,且分別為其對應的特征向量,求.(七)是維歐氏空間,是維空間上的線性變換,如果是中個線性無關的向量,且分

6、別與正交(不為0).求證:為的特征向量.14(八)設，求證：（1）（2）題型與錢吉林書習題類示。（九）設為數(shù)域，為數(shù)域上階方陣，且，求證：。（十）設，為階方陣，為階正交方陣，求證：（十一）設求證：。（十二）設為階實可逆矩陣，則為正定矩陣充分必要條件為存在階上三角實可逆矩陣，使。（十三）設為秩為的階矩陣，證明：的充要條件是存在秩為的階矩陣和秩為的矩陣，使且。（十四）設為數(shù)域上維線性空間，設是維線性空間上的線性變換，為的值域，為的核。（1）求證：維，（2）求證：維充分必要條件為：，并舉出這樣的線性變換。2005上海大學高等代數(shù)（一）已知，求在有理數(shù)域上的不

7、可約多項式并說明理由。14（一）已知，是階方陣，。求和。（二）是方程組的一個解，是其導出組的一個基礎解系。求證：（1），線性無關，（2）也線性無關。（四）同2007年第一大題.（五）是復矩陣，，求證：在復數(shù)域上相似于一個對角陣。（六）是階實對稱方陣，，是的特征值，，是對應的特征向量，求矩陣。（七）是反對稱變換的不變子空間，求證：也是的不變子空間。（八）已知是階實對稱方陣，求證：正定。（九）是矩陣的全體，已知，求證：的充分必要條件為。（十）已知，求證：。（十一）設求證：。（十二）是階實對稱方陣，證明：正定的充要條件是存在實階上三角陣，使。（十三）是階矩陣

8、，是陣，。求證：的充要條件是且。（十四）是維線性空間的象，是的核。求證：（1），14（2）的充