IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計

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1、第6章IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計6.1概述6.1.1IIR數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)我們已經(jīng)知道IIR數(shù)字濾波器是一類遞歸型的線性時不變因果系統(tǒng)，其差分方程可以寫為：（6.1）進(jìn)行z變換，可得：于是得到IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：(6.2)6.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法對(6.2)式的有理函數(shù)的分子、分母多項式進(jìn)行因式分解，可以得到：(6.3)其中ci為零點(diǎn)而di為極點(diǎn)。H(z)的設(shè)計就是要確定系數(shù)、或者零極點(diǎn)、，以使濾波器滿足給定的性能指標(biāo)。一般有三種方法。1.零極點(diǎn)位置累試法IIR系

2、統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)處出現(xiàn)峰值、在零點(diǎn)處出現(xiàn)谷值,因此可以根據(jù)此特點(diǎn)來設(shè)置H(z)的零極點(diǎn)以達(dá)到簡單的性能要求。所謂累試，就是當(dāng)特性尚未達(dá)到要求時，通過多次改變零極點(diǎn)的位置來達(dá)到要求。當(dāng)然這種方法只適用于簡單的、對性能要求不高的濾波器的設(shè)計。2.借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計方法來設(shè)計數(shù)字濾波器模擬濾波器的逼近和綜合理論已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟，產(chǎn)生了許多效率很高的設(shè)計方法，很多常用濾波器不僅有簡單而嚴(yán)格的設(shè)計公式，而且設(shè)計參數(shù)已圖表化，設(shè)計起來方便準(zhǔn)確。而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的,

3、因此，完全可以借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計方法來設(shè)計數(shù)字濾波器。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中，較多地采用了這種方法。3.用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)、或者零極點(diǎn)、等參數(shù)，可以采用最優(yōu)化設(shè)計方法來確定。最優(yōu)化設(shè)計法的第一步是要選擇一種誤差判別準(zhǔn)則，用來計算誤差和誤差梯度等。第二步是最優(yōu)化過程，這個過程的開始是賦予所設(shè)計的參數(shù)一組初值，以后就是一次次地改變這組參數(shù)，并一次次計算H(z)的特性與所要求的濾波器的特性之間的誤差，當(dāng)此誤差達(dá)到最小值時，所得到的這組參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)，設(shè)計過程也就到此完成。

4、這種方法能夠精確地設(shè)計許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計算很復(fù)雜，需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故必須借助于計算機(jī)，因而優(yōu)化設(shè)計又叫做IIR濾波器的計算機(jī)輔助設(shè)計(CAD)。第一種方法的算法簡單、設(shè)計粗糙，在這里不具體討論了；第三種方法所涉及的內(nèi)容很多，并且需要最優(yōu)化理論作為基礎(chǔ)，因此在本章中只能作簡要介紹；本章將著重討論用得最多的第二種方法。6.1.3借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計原理利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，要先根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)設(shè)計出相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，然后由Ha(s)經(jīng)變換

5、而得到所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。常用的變換方法有沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。6.2模擬低通濾波特性的逼近模擬濾波器的設(shè)計包括逼近和綜合兩大部分，其中逼近部分是與數(shù)字濾波器的設(shè)計有關(guān)的。本節(jié)要討論的是，在已知模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)的情況下，如何設(shè)計其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近所要求的技術(shù)指標(biāo)。模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)是沖激響應(yīng)ha(t)的傅里葉變換，Ha(jΩ)的模表征系統(tǒng)的幅頻特性，下面要討論如何根據(jù)幅頻特性指標(biāo)來設(shè)計系統(tǒng)函數(shù)。圖6.1中用虛線畫出的矩形表示一個理想的模擬低通濾

6、波器的指標(biāo)，是以平方幅度特性

7、Ha(jΩ)

8、2來給出的。Ωc是截止頻率，當(dāng)0≤Ω<Ωc時，

9、Ha(jΩ)

10、2=1，是通帶；當(dāng)Ω>Ωc時，

11、Ha(jΩ)

12、2=0，是阻帶。圖6.1中的實(shí)的曲線表示一個實(shí)際的模擬低通濾波器的平方幅度特性，我們的設(shè)計工作就是要用近似特性來盡可能地逼近理想特性。通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫橢圓逼近〕。6.2.1Butterworth低通濾波特性的逼近對于Butterworth濾波器有：（6.4）滿足此平方幅度特性

13、的濾波器又叫做B型濾波器。這里N為正整數(shù)，為B型濾波器的階次，為截止頻率。6.2.1.1B型濾波特性1.最平坦函數(shù)B型濾波器的幅頻特性是隨?增大而單調(diào)下降的。在?=0附近以及?很大時幅頻特性都接近理想情況，而且在這兩處曲線趨于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。2.3db帶寬由(6.4)式可知，當(dāng)Ω=Ωc時，=，而因此截止頻率又叫做3db帶寬或者半功率點(diǎn)。圖6.1Butterworth低通濾波器的平方幅度特性3.N的影響在通帶內(nèi)，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大，隨?增大而下降越慢；在阻帶內(nèi)，(Ω/Ω

14、c)>1，故N越大，隨?增大而下降越快。因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不同的N所對應(yīng)的特性曲線都經(jīng)過Ωc處的半功率點(diǎn)。離Ωc越近，幅頻特性與理想特性相差越大。6.2.1.2由得到Ha(s),B型濾波器的極點(diǎn)由于Ha(s)是s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，故有：，令s=jΩ,則有：，而(6.5)由(6.4)式和(6.5)式有：用s代替上式中的j?:(6.6)圖6.2階次N對B型特性的影響(6.6)式的極點(diǎn)為：p=0,1,…,2N-1作為–1的2N次方根，