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1、數(shù)字信號處理AmplitudeTimeFrequency(a)11小波基礎(chǔ)什么是小波小波發(fā)展歷史一維連續(xù)小波變換一維離散小波變換MATLAB小波工具箱——基本概念引言AmplitudeTimeFrequency(a)AmplitudeTimeTimeDomain(c)AmplitudeFrequencyFrequencyDomain(b)f1f2信號時頻域關(guān)系圖傅里葉變換：將時域→頻域，使信號的頻率特性一目了然。引言實質(zhì)：任何信號在一定程度上均可表示為一些列正弦波之和。雖然傅里葉分析自誕生以來，在科學(xué)與工程領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用，但也有明顯的不足。引言從本質(zhì)上講
2、，傅里葉變換就是一個棱鏡，它把一個信號函數(shù)分解為眾多的頻率成分，這些頻率又可以重構(gòu)原來的信號函數(shù)。這種變換是可逆的，且保持能量不變。引言在音樂信號中人們關(guān)心的是什么時刻演奏什么樣的音符；對地震波的記錄人們關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波；圖像識別中的邊緣檢測關(guān)心的是信號突變部分的位置，即紋理結(jié)構(gòu)。這些，傅里葉變換都不能完成，需要引入時-頻局部化分析。在不少實際問題中，我們關(guān)心的是信號在局部范圍中的特征,例如：短時傅里葉變換引言【例如】歌聲可看作為聲音震蕩的波函數(shù)，而傅里葉變換即是將這個波函數(shù)轉(zhuǎn)化成某種樂譜。不過，傅里葉變換無法反映信號在哪一時刻有高音，在哪一
3、時刻有低音，因而所有的音符都擠在了一起。傅里葉變換的實質(zhì)，是一種全局的變換，要么完全在時間域，要么完全在頻率域，因此無法表述信號的時頻局部性質(zhì)，而時-頻局部性質(zhì)恰好是非平穩(wěn)信號最基本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。一葉障目不見泰山引言需要注意的是：線性系統(tǒng)理論中的傅里葉變換是以在兩個方向上都無限伸展的正弦曲線波作為基函數(shù)的。對于瞬態(tài)信號或高度局部化的信號（例如邊緣），由于這些成分并不類似于任何一個傅里葉基函數(shù)，它們的變換系數(shù)（頻譜）不是緊湊的，頻譜上呈現(xiàn)出一幅相當(dāng)混亂的構(gòu)成。在這種情況下，傅里葉變換是通過復(fù)雜的安排，以抵消一些正弦波的方式構(gòu)造出在大部分區(qū)間都為零的函數(shù)而實現(xiàn)的
4、。因此：傅里葉分析不能刻畫時域信號的局部特性；傅里葉分析對非平穩(wěn)信號的處理效果不是很好。為了克服上述缺陷，使用有限寬度基函數(shù)的變換方法逐步發(fā)展起來了。這些基函數(shù)不僅在頻率上而且在位置上是變化的，它們是有限寬度的波——小波。引言小波：克服了傅里葉變換的缺點，不僅能檢測到高音與低音，而且還能將高音與低音發(fā)生的位置與原始信號相對應(yīng)。管中窺豹略見一斑引言引言11.1什么是小波什么是小波？所謂小波，即小區(qū)域的波，是一種長度有限、均值為零的波。均值為0假設(shè)的傅里葉變換為，若滿足下式：例如：則稱為基小波或母小波。完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件例1【例】判斷Haar小波是否為基小
5、波。【解】例1是基小波設(shè)有基小波，可通過尺度（伸縮）因子和位移因子來產(chǎn)生一系列小波基函數(shù)：11.1什么是小波其中：a，是尺度因子，b，是位移因子。11.1什么是小波小波的基本特點：“小”：在時域具有緊支集或近似緊支集，具有很強的衰減性；“波動性”：正負交替的“波動性”，即直流分量為零；既能在時域刻畫信號的局部性，也能在頻域反映信號的局部性。而且由于對高頻成分采用逐漸精細的時域或頻域取樣步長，從而可以聚焦到對象的任何細節(jié)，所以被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”?；舅枷耄簭暮瘮?shù)分解的角度看，主要目標是希望能找到另外一種基函數(shù)?(t)來代替傅里葉變換中的sin(t)函數(shù)，使得任
6、何信號f(t)都能由以函數(shù)?(t)為基底、經(jīng)過伸縮或平移產(chǎn)生的一些列函數(shù)的線性組合來表示。11.1什么是小波Haar小波在小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函數(shù)，同時也是最簡單的一個函數(shù)，它是非連續(xù)的，類似一個階梯函數(shù)。wname='haar';[phi,psi,xval]=wavefun(wname,20);plot(xval,psi);title(‘haar');11.1什么是小波2.Daubechies小波由世界著名的小波分析學(xué)者InridDaubechies構(gòu)造。除了db1(即haar小波)外，其他小波沒有明確的表達式，但轉(zhuǎn)換函數(shù)h的平方模是
7、很明確的。Daubechies小波函數(shù)提供了比Haar組更有效的分析和綜合。Daubechies系中的小波基記為dbN，N為序號，且N＝1，2，…，10。11.1什么是小波3.Coiflet小波系Coiflet函數(shù)也是由Daubechies構(gòu)造的一個小波函數(shù)，它具有coifN(N＝1，2，3，4，5)這一系列。Coiflet具有比dbN更好的對稱性。從支撐長度的角度看，coifN具有和db3N和sym3N相同的支撐長度；從消失矩的數(shù)目來看，coifN具有和db2N和sym2N相同的消失矩數(shù)目。11.1什么是小波4.Morlet小波Morlet小波不存在尺度函數(shù)
8、;快速衰減但非緊支撐.Gabor小波M
