《平方逼近離散》PPT課件

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1、第六章函數(shù)逼近（曲線擬合）2021/7/18阜師院數(shù)科院第六章目錄§1最小二乘法原理和多項(xiàng)式擬合§2一般最小二乘擬合2.1線性最小二乘法的一般形式2.2非線性最小二乘擬合§3正交多項(xiàng)式曲線擬合3.1離散正交多項(xiàng)式3.2用離散正交多項(xiàng)式作曲線擬合§4函數(shù)的最佳平方逼近§5最佳一致逼近2021/7/18阜師院數(shù)科院函數(shù)逼近（曲線擬合）概述用簡(jiǎn)單的計(jì)算量小的函數(shù)P(x)近似地替代給定的函數(shù)f(x)（或者是以離散數(shù)據(jù)形式給定的函數(shù)），以便迅速求出函數(shù)值的近似值，是計(jì)算數(shù)學(xué)中最基本的概念和方法，稱為函數(shù)逼近。通常被逼近的函數(shù)一般較復(fù)雜，或只知道離散點(diǎn)處的值，難于分析，而逼近函數(shù)則比較簡(jiǎn)單，如選用多項(xiàng)式

2、，有理函數(shù)，分段多項(xiàng)式，三角多項(xiàng)式等。2021/7/18阜師院數(shù)科院函數(shù)逼近（曲線擬合）概述（續(xù)）在大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n)中尋找其函數(shù)關(guān)系y=f(x)的近似函數(shù)P(x)，是在實(shí)踐中常遇到的。上一章介紹的插值方法就是一種逼近，要求在給定的節(jié)點(diǎn)處P(x)與f(x)相等（甚至導(dǎo)數(shù)值相等），因此在節(jié)點(diǎn)附近，逼近效果較好，而在遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn)的地方，由Runge現(xiàn)象知道，有時(shí)效果會(huì)很差，另一方面，由觀測(cè)得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不可避免地帶有誤差，甚至是較大的誤差，此時(shí)要求近似函數(shù)P(x)過(guò)全部已知點(diǎn)，相當(dāng)于保留全部數(shù)據(jù)誤差，所以使用插值法不合適。因此，對(duì)逼近函數(shù)P(x)不必要求過(guò)給定的點(diǎn)，即

3、不要求P(xi)=yi(i=1,2,…,n)，只要求P(xi)–yi總體上盡可能小即要求P(x)盡可能反映給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的總體趨勢(shì)，在某種意義（要求或標(biāo)準(zhǔn)）下與函數(shù)最“逼近”。下面先舉例說(shuō)明。2021/7/18阜師院數(shù)科院函數(shù)逼近舉例給定一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如上，求x,y的函數(shù)關(guān)系。例1123424681.12.84.97.2ixiyi解先作草圖如圖6-1所示這些點(diǎn)的分布接近一條直線，因此可設(shè)想，y為x的一次函數(shù)。設(shè)y=a0+a1x，從圖中不難看出，無(wú)論a0，a1取何值，直線都不可能同時(shí)過(guò)全部數(shù)據(jù)點(diǎn)。怎樣選取a0，a1才能使直線“最好”地反映數(shù)據(jù)點(diǎn)的總體趨勢(shì)？首先要建立好壞的標(biāo)準(zhǔn)。假定a0，a1已經(jīng)確定

4、，yi*=a0+a1xi(i=1,2,…,n)是由近似函數(shù)求得的近似值，它與觀測(cè)值yi之差ri=yi?yi*=yi?a0?a1xi(i=1,2,…,n)稱為偏差。顯然，偏差的大小可作為衡量近似函數(shù)好壞的標(biāo)準(zhǔn)。偏差向量r=(r1,r2,…,rn)T，yx86422468****圖6-12021/7/18阜師院數(shù)科院例1（續(xù)）（1）使偏差的絕對(duì)值之和最小，即:（2）使偏差的最大絕對(duì)值達(dá)到最小，即:（3）使偏差的平方和最小，即:在離散情況下,也稱為曲線擬合的最小二乘法,是實(shí)踐中常用的一種函數(shù)逼近方法。常用的準(zhǔn)則有以下三種：準(zhǔn)則（1）的提出很自然也合理，但實(shí)際使用不方便，按準(zhǔn)則（2）求近似函數(shù)的方

5、法稱為函數(shù)的最佳一致逼近按準(zhǔn)則（3）確定參數(shù)，求近似函數(shù)的方法稱為最佳平方逼近,ri=yi?yi*=yi?a0?a1xi2021/7/18阜師院數(shù)科院函數(shù)的近似替代，求近似函數(shù)稱為逼近要求（準(zhǔn)則或標(biāo)準(zhǔn)）不一樣，逼近的意義不一樣，因此，方法不一樣，結(jié)果也不一樣。插值是逼近，滿足條件Ln(xi)=yi是在“過(guò)給定點(diǎn)”意義下的逼近。要求Ln(xi)-yi總體上盡可能小,滿足準(zhǔn)則（3）稱為最佳平方逼近,在離散情況下,也稱為曲線擬合的最小二乘法.2021/7/18阜師院數(shù)科院§1最小二乘法原理和多項(xiàng)式擬合一、曲線擬合的最小二乘法基本原理對(duì)給定的數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n)，選取近似函數(shù)形式

6、，即在給定的函數(shù)類(lèi)Φ中，求函數(shù)?(x)?Φ，使偏差ri=?(xi)?yi(i=1,2,…,n)的平方和為最小，即:亦即:從幾何上講，就是求在給定的點(diǎn)x1,x2,…,xn處與點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的距離平方和最小的曲線y=?(x)。這種求近似函數(shù)的方法稱為離散數(shù)據(jù)曲線擬合的最小二乘法，函數(shù)?(x)稱為這組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合函數(shù)。通常取Φ為一些較簡(jiǎn)單函數(shù)的集合如低次多項(xiàng)式，指數(shù)函數(shù)等。例1中取Φ為一次多項(xiàng)式集合。2021/7/18阜師院數(shù)科院二、多項(xiàng)式擬合對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n)，求一多項(xiàng)式(m

7、,1,…,m)使得:其中Φ為不超過(guò)m次多項(xiàng)式的集合。這就是數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式擬合，Pm(x)稱為這組數(shù)據(jù)的m次擬合多項(xiàng)式。與求解矛盾線性方程組的最小二乘法的方法相同，由多元函數(shù)求極值的必要條件，得方程組:移項(xiàng)得:（緊接下屏）2021/7/18阜師院數(shù)科院多項(xiàng)式擬合（續(xù)）打開(kāi)和式即：這是最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù)ak(k=0,1,…,m)應(yīng)滿足的方程組，稱為正規(guī)方程組或法方程組。由函數(shù)組{1,x,x2,…,xm}的線性