《平方逼近離散》PPT課件

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1、第六章函數逼近（曲線擬合）2021/7/18阜師院數科院第六章目錄§1最小二乘法原理和多項式擬合§2一般最小二乘擬合2.1線性最小二乘法的一般形式2.2非線性最小二乘擬合§3正交多項式曲線擬合3.1離散正交多項式3.2用離散正交多項式作曲線擬合§4函數的最佳平方逼近§5最佳一致逼近2021/7/18阜師院數科院函數逼近（曲線擬合）概述用簡單的計算量小的函數P(x)近似地替代給定的函數f(x)（或者是以離散數據形式給定的函數），以便迅速求出函數值的近似值，是計算數學中最基本的概念和方法，稱為函數逼近。通常被逼近的函數一般較復雜，或只知道離散點處的值，難于分析，而逼近函數則比較簡單，如選用多項式

2、，有理函數，分段多項式，三角多項式等。2021/7/18阜師院數科院函數逼近（曲線擬合）概述（續(xù)）在大量的實驗數據(xi,yi)(i=1,2,…,n)中尋找其函數關系y=f(x)的近似函數P(x)，是在實踐中常遇到的。上一章介紹的插值方法就是一種逼近，要求在給定的節(jié)點處P(x)與f(x)相等（甚至導數值相等），因此在節(jié)點附近，逼近效果較好，而在遠離節(jié)點的地方，由Runge現(xiàn)象知道，有時效果會很差，另一方面，由觀測得到的實驗數據不可避免地帶有誤差，甚至是較大的誤差，此時要求近似函數P(x)過全部已知點，相當于保留全部數據誤差，所以使用插值法不合適。因此，對逼近函數P(x)不必要求過給定的點，即

3、不要求P(xi)=yi(i=1,2,…,n)，只要求P(xi)–yi總體上盡可能小即要求P(x)盡可能反映給定數據點的總體趨勢，在某種意義（要求或標準）下與函數最“逼近”。下面先舉例說明。2021/7/18阜師院數科院函數逼近舉例給定一組實驗數據如上，求x,y的函數關系。例1123424681.12.84.97.2ixiyi解先作草圖如圖6-1所示這些點的分布接近一條直線，因此可設想，y為x的一次函數。設y=a0+a1x，從圖中不難看出，無論a0，a1取何值，直線都不可能同時過全部數據點。怎樣選取a0，a1才能使直線“最好”地反映數據點的總體趨勢？首先要建立好壞的標準。假定a0，a1已經確定

4、，yi*=a0+a1xi(i=1,2,…,n)是由近似函數求得的近似值，它與觀測值yi之差ri=yi?yi*=yi?a0?a1xi(i=1,2,…,n)稱為偏差。顯然，偏差的大小可作為衡量近似函數好壞的標準。偏差向量r=(r1,r2,…,rn)T，yx86422468****圖6-12021/7/18阜師院數科院例1（續(xù)）（1）使偏差的絕對值之和最小，即:（2）使偏差的最大絕對值達到最小，即:（3）使偏差的平方和最小，即:在離散情況下,也稱為曲線擬合的最小二乘法,是實踐中常用的一種函數逼近方法。常用的準則有以下三種：準則（1）的提出很自然也合理，但實際使用不方便，按準則（2）求近似函數的方

5、法稱為函數的最佳一致逼近按準則（3）確定參數，求近似函數的方法稱為最佳平方逼近,ri=yi?yi*=yi?a0?a1xi2021/7/18阜師院數科院函數的近似替代，求近似函數稱為逼近要求（準則或標準）不一樣，逼近的意義不一樣，因此，方法不一樣，結果也不一樣。插值是逼近，滿足條件Ln(xi)=yi是在“過給定點”意義下的逼近。要求Ln(xi)-yi總體上盡可能小,滿足準則（3）稱為最佳平方逼近,在離散情況下,也稱為曲線擬合的最小二乘法.2021/7/18阜師院數科院§1最小二乘法原理和多項式擬合一、曲線擬合的最小二乘法基本原理對給定的數據(xi,yi)(i=1,2,…,n)，選取近似函數形式

6、，即在給定的函數類Φ中，求函數?(x)?Φ，使偏差ri=?(xi)?yi(i=1,2,…,n)的平方和為最小，即:亦即:從幾何上講，就是求在給定的點x1,x2,…,xn處與點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的距離平方和最小的曲線y=?(x)。這種求近似函數的方法稱為離散數據曲線擬合的最小二乘法，函數?(x)稱為這組數據的最小二乘擬合函數。通常取Φ為一些較簡單函數的集合如低次多項式，指數函數等。例1中取Φ為一次多項式集合。2021/7/18阜師院數科院二、多項式擬合對于給定的一組數據(xi,yi)(i=1,2,…,n)，求一多項式(m

7、,1,…,m)使得:其中Φ為不超過m次多項式的集合。這就是數據的多項式擬合，Pm(x)稱為這組數據的m次擬合多項式。與求解矛盾線性方程組的最小二乘法的方法相同，由多元函數求極值的必要條件，得方程組:移項得:（緊接下屏）2021/7/18阜師院數科院多項式擬合（續(xù)）打開和式即：這是最小二乘擬合多項式的系數ak(k=0,1,…,m)應滿足的方程組，稱為正規(guī)方程組或法方程組。由函數組{1,x,x2,…,xm}的線性