最優(yōu)化與最優(yōu)控制講義第5章離散時間系統(tǒng)最優(yōu)控制

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1、五．離散時間系統(tǒng)最優(yōu)控制前面幾章所討論的都是關(guān)于連續(xù)時間系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。然而在現(xiàn)實世界中，很多實際系統(tǒng)本質(zhì)上是時間離散的，如某些經(jīng)濟、能源系統(tǒng)。更為重要的是，即使是系統(tǒng)是連續(xù)的，因為計算機是基于時間和數(shù)值上都離散的數(shù)字技術(shù)的，在實行計算機控制時必須將時間離散化后作為離散系統(tǒng)處理。因此，本章將要討論離散時間系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。5.1離散時間系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的提法（1）離散系統(tǒng)舉例考慮一個化工多級萃取過程的最優(yōu)控制問題。萃取是指可以被溶解的物質(zhì)在兩種互不相溶的溶劑之間的轉(zhuǎn)移，一般用于化學(xué)實驗或化工生產(chǎn)中將想要提取的物質(zhì)（通常含量較低）從不易分離的溶劑中轉(zhuǎn)移到容易分離的溶劑（萃取

2、劑）中。多級萃取則是化工生產(chǎn)中提取某種價值高、含量低的物質(zhì)的常用生產(chǎn)工藝。多級萃取過程如圖5.1所示。含A的混合物以流量V進入萃取器1，此時混合物中A物質(zhì)的濃度為x(0)。萃取劑以流量u(0)通過萃取器1，單位體積萃取劑帶走的A物質(zhì)的量為z(0)。一般萃取過程萃取物的含量均較低，所以可以認為通過萃取器1后混合物的流量不變，仍為V。流出萃取器1的混合物中A物質(zhì)的濃度為x(1)。以此類推至萃取器N。u(0)u(1)u(k)u(N－1)VVVVVVV萃取器1萃取器2萃取器k萃取器Nx(0)x(1)x(2)x(k-1)x(k)x(N-1)x(N)z(0)z(1)z(k-1)z(N-1)

3、圖5.1多級萃取過程在萃取過程中，對第k個萃取器有如下萃取平衡關(guān)系z(k?1)=Kx(k)(5-1-1)其中，K為萃取平衡常數(shù)。同時有物料平衡關(guān)系V[x(k-1)-x(k)]=u(k-1)z(k-1)(5-1-2)由以上關(guān)系可列出萃取物濃度方程63x(k?1)x(k)==f[x(k?1),u(k?1)](5-1-3)K1+u(k?1)V將視為x(k)狀態(tài)變量，u(k)視為控制變量，則上式可作為狀態(tài)方程。假定A物質(zhì)的單價為α，萃取劑的單價為β，則N級萃取過程總的收益為NN?1p=∑αV[x(k?1)?x(k)]?∑βu(k)k=1k=0(5-1-4)N?1=αV[x(0)?x(N

4、)]?∑βu(k)k=0引進性能指標(biāo)NN?1pJ==∑[x(k?1)?x(k)]?B∑u(k)αVk=1k=0(5-1-5)N?1N?1=∑[x(k)?x(k+1)]?B∑u(k)k=0k=0β其中B=。則該多級萃取過程尋求收益最大化問題就可以描述為一個離散最αV優(yōu)控制問題，即要確定一組最優(yōu)控制序列u(k)(k=0,1,…,N-1)，使性能指標(biāo)J達到最大。（2）離散系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的提法給定離散系統(tǒng)狀態(tài)方程x(k+1)=f[x(k),u(k),k],k=0,1,L,N?1(5-1-6)和初始狀態(tài)x(0)=x(5-1-7)0nm其中x(k)∈R,u(k)∈R分別為狀態(tài)向量和控制向

5、量，f為連續(xù)可微的n維函數(shù)向量。性能指標(biāo)N?1J=Φ[x(N),N]+∑L[x(k),u(k),k](5-1-8)k=0離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題就是確定最優(yōu)控制序列u*(0)，u*(1)，…，u*(N-1)，使性能指標(biāo)J達到極小（或極大）值。將最優(yōu)控制序列u*(0)，u*(1)，…，u*(N-1)依次代入狀態(tài)方程，并利用初始條件x(0)=x，可以解出最優(yōu)狀態(tài)序列x*(1)，0x*(2)，…，x*(N)，也稱為最優(yōu)軌線。5.2離散Euler方程與連續(xù)系統(tǒng)Lagrange問題tfJ=∫L[]x(t),x&(t),tdtt0對應(yīng)，相應(yīng)的離散系統(tǒng)性能指標(biāo)為64N?1N?1J=∑L[]x(

6、k),x(k+1),k=∑L（5-2-1）kk=0k=0其中L=L[]x(k),x(k+1),k是第k個采樣周期內(nèi)性能指標(biāo)J的增量。k**假定離散性能指標(biāo)J存在極小值，則式（5-2-1）存在極值解x(k)（這里x**表示極值解序列）。在x(k)，x(k+1)的鄰域內(nèi)x(k)，x(k+1)可表為*??x(k)=x(k)+αδx(k)?（5-2-2）*??x(k+1)=x(k+1)+αδx(k+1)其中α為參變量，δx(k)和δx(k+1)分別是x(k)和x(k+1)的變分，代入J有N?1∑[]**J(α)=Lx(k)+αδx(k),x(k+1)+αδx(k+1),k（5-2-3）

7、k=0由函數(shù)極值必要條件，有?J(α)δJ==0?αα=0可得N?1?T?LT?L?kk∑?δx(k)+δx(k+1)?=0（5-2-4）k=0??x(k)?x(k+1)?由于N?1T?LNT?Lkk?1∑δx(k+1)=∑δx(k)k=0?x(k+1)k=1?x(k)k=N（5-2-5）N?1T?LT?Lk?1k?1=∑δx(k)+δx(k)k=0?x(k)?x(k)k=0（5-2-5）式稱為“離散分部積分”，代入（5-2-4）有N?1T??L[x(k),x(k+1),k]?L[x(k?1