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1、6中等數學用數形結合的方法解競賽題．宋強，(天津市紅橋區(qū)佳慶里27門303。300134)中圖分類號：0142文獻標識碼：A文章編號：1005—6416(2012)04一OOO6—07(本講適合高中)J數形結合是一種重要的數學思想，是指從原題構件出發(fā)，通過對題設表達式變形構造出相應的幾何圖形，進而直觀地反映出原題條件，最終使問題獲解．一般說來，數形結合所涉及的知識并不難．難點往往在于尋找轉化問題的關鍵所在．_／一32—10／1N234或最佳方法．一。J＼本文通過實例作一介紹．一2＼3+2v．_5=，、一3／2k1構造直線系v一一了一k3x+2y+7-O例1
2、已知實數、Y滿足圖l3l+lI+2ly一1l≤6．①【評注】此解將平面上的點與不等式的則2一3y的最大值是一?解組(，Y)建立一一對應關系，使解題思路(2010，全國高中數學聯賽四川省預賽)簡潔明了．【分析】通過對不等式①中+1、Y—l例2二元函數正負性的討論知滿足不等式①的點(x，Y)，Y)在直角坐標系中的四條直線所圍區(qū)域中．=廚++(≤1)解如圖1，不等式①所確定的圖形是的最小值為——-．四條直線所圍成的~：TABCD及其內部，其中，【分析If(，Y)中的每個二次根式都可(一l，4)，B(1，1)，以看作兩點間的距離公式．C(一1，一2)，o(-3，1
3、)．解女Ⅱ圖2，設A(，0)(≤一1)，8(0，Y)，作直線系2一3y=k，即c(1，-3．)，D(1，2)．則2k’Y一了，，Y)=lABl+IACI十IBDI=^(1ABI+lBD1)+IACI其在z=TABCD最低點c有最小截距一÷．J≥lADI+IACI。故當=一l，Y=一2時，2一3)，取最大當且僅當A、、D三點共線，即值4．’，22x高Y收稿日期：2012—02—102012年第4期7JlY2。B／D．／／34P／／／／；21B。A／L／／．—一2IN012O＼＼_·1—2--3＼．1-4—2--3l璺l2故原不等式等價于時，上式等號成立．由圖
4、像知』(x-3)專<1，【y2：3．IADI≥IA0DI=2，所以，原不等式的解集為IACI≥IAoCI_13．{x13一,f<<3+}．故，Y)≥2+．例4設函數當=一l，Y=1時，上式等號成立．【評注】本解利用兩點間的距離公式，其=~／—10-6—cosx+一?關鍵在于選取恰當的點，進而減少計算量．√2一2構造二次曲線√．一-g‘--cos一—2simn．則，()的最小值為例3不等式解注意到，一2<2—2+4一2—10x+28<2)=~／(COS一3)+sin+的解集為一(2006，全國高中數學聯賽黑龍江省預+一竽)+賽)解原不等式即為+(s-1)．I
5、了一I<2．令3=Y．則不等式化為如設(0，)，cz)，I麗一研I<2．①P(COS，sin0)．由雙曲線定義，知滿足不等式①的點于是，0)=IPAI+IPBI+IPCI，其中，點P在0D(+，，=1)上．(戈，Y)在雙曲線(一3)一}=l因為oD-~AB切于點D(1，竽)，且J的兩支之間的區(qū)域內(如圖3)．8中等數學時，式①等號成立．l’，例6已知集合Br一M=y)l，，≥}}，一l＼0／123Ⅳ=y)I，，≤一機+7)'．．JD，(‰，Yo)={(x,y)I(x一‰)+(y—yo)≤r2}．圖4試求最大的r，使得Xo，Yo)CMnN．IPCI≥lDCI
6、．IPAI+IPBI≥lABI．(2010，第一屆陳省身杯全國高中數學奧林匹克)則lPAl+IPBl+IPCl≥lABI+lDCl解顯然，肘nⅣ≠f2j．=竽+一-)=3．1，如圖6，在平面直角坐標系中，當且僅當點P與D重合時，上式等號成立．Y‘，Y一÷‘+¨+77例5設實數x,y滿足3x+4y2=48．則的頂點分別為o(o，0)，A(2，8)，且兩條拋物+)，2—4x+4++一2x++5線關于點8(1，4)對稱．的最大值為一y(2011，全國高中數學聯賽福建賽區(qū)預．A賽)／7、＼解注意到，一4x一2x+4ys毒臥7=~／(一2)++~／(戈一1)+(Y+
7、2)，且點P(，，，)在橢圓+=1上．．-4—3—2一l01234567如圖5，設橢圓I二y圖6左、右焦點為(一2，P∈～從而，Mr3N在直角坐標系中所對應的0)，(2，0)，長軸長圖形以點B為中心對稱，且所包含的最大為2口．取橢圓內點半徑的圓應為的內切圓．B(1，一2)．下面證明：該圓的圓心為．則所求式圖5否則，設該圓圓心為B。，半徑為r．=II+IPBI取點關于的對稱點日．則以為：2a—IPF1I+IPBI≤2口．hIBFll圓心、r為半徑的圓也是的內切圓．作兩圓的外公切線．=8+，①因為是凸的，所以，上述兩條外公切線當且僅當P為射線BF與橢圓的交點，
8、即及兩圓所圍區(qū)域在的內部．+12l’f：T-32-36~i~，從而
