小波變換理論及其在降噪中的應(yīng)用

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1、小波變換及其在降噪中的應(yīng)用劉怡馬春浩何麗珍方啟超2011.6.16小波變換的發(fā)展歷史1822年傅里葉發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”，傅里葉變換成為傳統(tǒng)信號(hào)處理的基本方法。其基本思想是將信號(hào)分解成許多不同頻率的正弦波的疊加，將信號(hào)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻率域。但是，這種變換丟失時(shí)間信息，不利于分析非平穩(wěn)信號(hào)，如實(shí)際信號(hào)中的偏移、趨勢(shì)、突變等。小波變換的發(fā)展歷史為了研究信號(hào)在局部時(shí)間段得頻域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor變換，之后發(fā)展成為短時(shí)傅里葉變換（STFT）。其基本思想是對(duì)信號(hào)加窗，然后對(duì)窗內(nèi)的信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，因此

2、它可以反映信號(hào)的局部特征。小波變換的發(fā)展歷史1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個(gè)真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的統(tǒng)一方法——多尺度分析。它繼承了STFT的思想，它的窗口大小不變，但窗口形狀可以改變，是一種時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的視頻分析方法。簡(jiǎn)單來說，小波分析在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低分辨率，在時(shí)頻域都具有很強(qiáng)的表征信號(hào)局部特征的能力。小波理論小波函數(shù)定義L2(R)指R上平方可積（或能量有限）函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)空間小波理論連續(xù)伸縮

3、、平移離散伸縮、平移小波理論小波變換的定義常用小波函數(shù)1.Haar小波常用小波函數(shù)2.Daubechies(dbN)小波Daubechies小波由著名小波學(xué)者IngridDaubechies所創(chuàng)造，她的發(fā)明是小波領(lǐng)域的里程碑，使得小波的研究由理論轉(zhuǎn)為可行。常用小波函數(shù)3.SymletsA(symN)小波族Sym小波的構(gòu)造類似于db小波族，兩者的差別在于sym小波有更好的對(duì)稱性，更適合圖像處理，減少重構(gòu)時(shí)的相移?？焖傩〔ㄗ儞Q（FWT）小波分析主要是在信號(hào)降噪（一維小波變換）和圖像處理（二維小波變化）方面有著重要的應(yīng)用，本篇所

4、講的主要是利用一維離散小波變換在信號(hào)降噪方面的應(yīng)用。一維離散小波變換實(shí)現(xiàn)的算法一般是mallat算法，即先對(duì)較大尺度的信號(hào)進(jìn)行小波變換，再選取其中的低頻部分在原尺度的1/2尺度上再進(jìn)行小波變換。此種算法又稱快速小波變換（FWT）。小波分析的應(yīng)用FWT算法的流程第一步快速小波變換（FWT）第一步：給定一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)s，那么整個(gè)算法之多在log2N步內(nèi)完成，第一步從原始信號(hào)s開始，產(chǎn)生兩組參數(shù)，一組是作用低通濾波器Lo_D得到的近似信號(hào)cA1，另一組是作用高通濾波器Hi_D得到的細(xì)節(jié)信號(hào)cD1，這兩個(gè)信號(hào)都是原始信號(hào)在濾波

5、器作用下以尺度為2的下采樣。第二步：把其中的低頻部分cA1再次分解，直到所需要的層數(shù)?？焖傩〔ㄗ儞Q（FWT）FWT算法的流程快速小波變換（FWT）在MATLAB中實(shí)現(xiàn)多尺度分解的函數(shù)是wavedec，該函數(shù)的使用方式如下：[C,L]=wavedec(s,N,'vname')其中，s表示信號(hào)，N為分解層數(shù)（必須是一個(gè)正整數(shù)），‘vname’表示選用的小波基。這個(gè)函數(shù)返回的是一個(gè)分解向量C和長(zhǎng)度向量L?？焖傩〔ㄗ儞Q（FWT）wavedec返回值的記錄方式快速小波變換（FWT）用Daubechies小波db4對(duì)信號(hào)進(jìn)行5層分解小

6、波變換在降噪中的應(yīng)用光滑性：在大部分情況下，降噪后的信號(hào)應(yīng)該至少和原信號(hào)具有相同的光滑性。相似性：降噪后的信號(hào)和原信號(hào)的方差估計(jì)應(yīng)該是最壞情況下的最小值。信號(hào)降噪的準(zhǔn)則小波變換在降噪中的應(yīng)用上圖所示為含有噪聲的原始信號(hào)，其在初始階段的振蕩頻率很高，可以看做是系統(tǒng)的特性。相對(duì)于有用信號(hào)，噪聲是高頻信號(hào)，我們分別用FFT變換濾波和小波濾波來觀察兩種濾波效果的不同。小波變換在降噪中的應(yīng)用對(duì)原始信號(hào)做傅里葉變換，求出頻譜如右圖所示，從圖中可以看出，信號(hào)的能量主要集中在低頻部分，在20Hz以后迅速衰減，50Hz以后幾乎就沒有能量了。

7、小波變換在降噪中的應(yīng)用上圖自上而下分別是原始信號(hào)、經(jīng)過FFT變換刪除其中大于10Hz、30Hz、50Hz部分再經(jīng)過傅里葉逆變換得到信號(hào)?？梢钥吹?，雖然達(dá)到濾波效果，但是初始階段的振蕩也被濾掉了，即有用信號(hào)也被濾掉了。小波變換在降噪中的應(yīng)用上圖是利用sym4小波分別使用全局閾值和分層閾值對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行濾波得到的結(jié)果。從圖中可以看出，用小波進(jìn)行降噪，不僅濾除了噪聲，還很好的保留了信號(hào)發(fā)展初期的高頻特性。謝謝！