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《初等數(shù)學模型》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第二章初等數(shù)學模型本章重點是：雨中行走問題、動物的身長與體重、實物交換、代表名額的分配與森林救火模型的建立過程和所使用的方法復習要求1．進一步理解基本建模過程，掌握類比法、圖示法以及問題分析、合理假設的內(nèi)涵。2．進一步理解數(shù)學模型的作用與特點。類比法是建立數(shù)學模型的一個常見而有力的方法.作法是把問題歸結(jié)或轉(zhuǎn)化為我們熟知的模型上去給以類似的解決：這個問題與我們熟悉的什么問題類似?如果有類似的問題曾被解決過，我們的建模工作便可省去許多麻煩.實際上，許多來自不同領域的問題在數(shù)學模型上看確實具有相類似的甚至相同的結(jié)構(gòu)
2、.利用幾何圖示法建模.有不少實際問題的解決只要從幾何上給予解釋和說明就足以了，這時，我們只需建立其圖模型即可，我們稱這種建模方法為圖示法.這種方法既簡單又直觀，且其應用面很寬.1．雨中行走問題雨中行走問題的結(jié)論是：（1）如果雨是迎著你前進的方向落下，即，那么全身被淋的雨水總量為這時的最優(yōu)行走策略是以盡可能大的速度向前跑.（2）如果雨是從你的背后落下，即.令，則.那么全身被淋的雨水總量為這時你應該控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.從建模結(jié)果看，“為了少些淋雨，應該快跑”，這個一般的“常
3、識”被基本上否定，那么根據(jù)何在？由此提出了建模目的：減少雨淋程度.而為減少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”這個目標函數(shù)C，而C=C（v），于是問題便歸結(jié)為確定速度v，使C（v）最小——本模型的關鍵建模步驟便得以確定.有了確定的建模目的，自然引出與C（v）有關的量的設定與簡化假設.一般地，開始時不要面面俱到地把所有相關量都涉及到，往往只需考慮幾個主要量，甚至暫時舍棄某個主要量，以求盡快建立模型.尤其對初學者，這樣做有助于建模信心的增強.自不必說建模過程往往如此，更有模型尚有的進一步修改和推廣的主要步驟
4、.而一旦建立起簡單模型后，其進一步的改善也相對容易多了.這就是本模型只所以建立了兩個模型的原因，是符合人們的認識規(guī)律的.另外，為了檢驗所建模型的合理性，建模后用較為符合實際的幾組數(shù)據(jù)對模型加以檢驗是重要的，它既是對所建模型是否基本符合實際的檢測，也是進一步完善模型的需要.13例1在某海濱城市附近海面有一臺風.據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O（如圖2-1）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北方向移動.臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大.問幾小時
5、后該城市開始受到臺風的侵襲？問題分析與假設1.根據(jù)問題解決目的：問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲，以及臺風侵襲的范圍為圓形的假設，只要求出以臺風中心（動點）為圓心的圓的半徑r，這個圓的半徑劃過的區(qū)域自然是侵襲范圍.2.臺風中心是動的，移動方向為向西偏北，速度為20km/h，而當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，即半徑的增加速度為，t為時間.于是只要，便是城圖2-1市O受到侵襲的開始.模型I如圖2-2建立坐標系：以O為原點，正東方向為x軸正向.在時刻t(h)臺風中心的坐標為此時臺風侵襲的區(qū)域是
6、其中r(t)=10t+60.圖2-2若在t時刻城市O受到臺風的侵襲，則有即整理可得由此解得12t24，即12小時后該城市開始受到臺風的侵襲.模型II設在時刻t(h)臺風中心為（如圖2-2），此時臺風侵襲的圓形半徑為10t+60，因此，若在時刻t城市O受到臺風侵襲，應有由余弦定理知13注意到故因此即解得2．動物的身長與體重問題在生豬收購站或屠宰場工作的人們，有時希望由生豬的身長估計它的體重.試建立數(shù)學模型討論四足動物的軀干的長度（不含頭、尾）與它的體重的關系，（1）問題分析眾所周知，不同種類的動物，其生理構(gòu)造不
7、盡相同，如果對此問題陷入對生物學復雜生理結(jié)構(gòu)的研究，就很難得到我們所要求的具有應用價值的數(shù)學模型并導致問題的復雜化.因此，我們舍棄具體動物的生理結(jié)構(gòu)討論，僅借助力學的某些已知結(jié)果，采用類比方法建立四足動物的身長和體重關系的數(shù)學模型.類比法是依據(jù)兩個對象的已知的相似性，把其中一個對象的已知的特殊性質(zhì)遷移到另一對象上去，從而獲得另一個對象的性質(zhì)的一種方法.它是一種尋求解題思路、猜測問題答案或結(jié)論的發(fā)現(xiàn)的方法，而不是一種論證的方法，它是建立數(shù)學模型的一種常見的、重要的方法.類比法的作用是啟迪思維，幫助我們尋求解題的
8、思路.，而它對建模者的要求是具有廣博的知識，只有這樣才能將你所研究的問題與某些已知的問題、某些已知的模型建立起聯(lián)系.（2）模型假設與求解我們知道對于生豬，其體重越大、軀干越長，其脊椎下陷越大，這與彈性梁類似.為了簡化問題，我們把動物的軀干看作圓柱體，設其長度為l、直徑為d、斷面面積為S（如圖2—3）.將這種圓柱體的軀干類比作一根支撐在四肢上的彈性梁，這樣就可以借助力學的某些結(jié)果研究動物的身長與體重的
