LBM求解Burgers方程

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1、LBM求解一維Burgers方程1.概述格子Boltzman方法有兩個(gè)理論源頭,分別是氣體動(dòng)力學(xué)Boltzman方程以及系統(tǒng)科學(xué)中的元胞自動(dòng)機(jī),從Boltzman方程出發(fā),我們可以把格子Boltzman方法建立在物理定律的基礎(chǔ)之上,從而可以用格子Boltzman方法來(lái)求解各種物理問(wèn)題,包括流體N-S方程,其他種類(lèi)的對(duì)流擴(kuò)散方程,在這種理論框架內(nèi)格子Boltzman方法的變量均賦予的物理意義。從另一個(gè)角度出發(fā),我們也可以把格子Boltzman方法當(dāng)做一種模擬一類(lèi)微分方程的數(shù)學(xué)手段,而不必對(duì)其中的變量賦予物理意義。所以我們對(duì)標(biāo)準(zhǔn)LBM的某些部分可以做一些改變,比如平衡態(tài)分布函數(shù),以及

2、源項(xiàng)的處理,從而達(dá)到求解其他類(lèi)型的對(duì)流擴(kuò)散方程的目的。2.關(guān)于恢復(fù)宏觀的方程的特點(diǎn)考慮基本的格子Boltzman方程…………(1)應(yīng)用champan-Enskog展開(kāi),在時(shí)間方向上我們?nèi)∪N形式時(shí)間尺度…………(2)…………(3)空間上我們?nèi)煞N形式的宏觀尺度…………(4)關(guān)于時(shí)間空間的微分算子有下列關(guān)系式…………(5)…………(6)同時(shí)把分布函數(shù)展成…………(7)把(1)式作taylor展開(kāi),有…………(8)把(5)(6)(7)代入(8)式,比較各階系數(shù)…………(9)…………(10)同時(shí)有…………(11)考慮(9)(10)式的一階矩,,可得到這些項(xiàng)…………(12)…………(13

3、)而(9)(10)的二階矩可以得到下面的項(xiàng)…………(14)…………(15)由此可分析格子Boltzmann方法恢復(fù)宏觀方程的結(jié)構(gòu),可以包含非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)(12)(14)對(duì)流項(xiàng)(13)(15)擴(kuò)散項(xiàng)(15)3.一維Burgers方程的LBM解法一維定解Burgers方程為…………(16)由以上的簡(jiǎn)單分析,LBM可以求解上述方程,一般解上述方程可用時(shí)間相關(guān)法,即增加非穩(wěn)態(tài)項(xiàng),即上述問(wèn)題的皆可化為下列非穩(wěn)態(tài)方程的穩(wěn)態(tài)解…………(17)下面我們采用LBM即模擬方程(17)對(duì)于一維問(wèn)題我們采用3速度模型,即離散速度集合為…………(18)宏觀量為…………(19)至于平衡態(tài)分布函數(shù)和無(wú)量綱松弛參數(shù),

4、必須通過(guò)多尺度分析才能得出。仿照前述的Champan-Enskog展開(kāi)分析設(shè)置3個(gè)時(shí)間尺度,…………(20)同時(shí)分布函數(shù)展開(kāi)到3階…………(21)演化方程也展開(kāi)到3階…………(22)把(20)(21)等式代入(22),比較各階系數(shù)可得宏觀方程為上述方程實(shí)質(zhì)上是二階精度的Burgers方程,并且雷諾數(shù)與松弛參數(shù)的關(guān)系為平衡態(tài)分布函數(shù)數(shù)值實(shí)驗(yàn)取Re=1000進(jìn)行實(shí)驗(yàn)楊滿葉(quick的攝動(dòng)格式)模擬4個(gè)粒子在均勻流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)Step=0Step=500Step=1000Step=2000Step=3000Step=3500

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