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《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法-7-方程求根》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、計(jì)算方法授課老師：聶德明nieinhz@cjlu.edu.cn仰儀北樓606計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院NumericalMethod方程求根1問(wèn)題的提出2二分法3迭代法4牛頓法及割線(xiàn)法預(yù)備知識(shí)1.Taylor公式拉格朗日余項(xiàng)：2.拉格朗日中值定理預(yù)備知識(shí)若f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在ξ∈[a,b]，使：或設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增(遞減)的充要條件是3.函數(shù)的單調(diào)性預(yù)備知識(shí)1問(wèn)題的提出方程的一般形式：f(x)=0，滿(mǎn)
2、足方程的x值通常叫做方程的根或解，也叫函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。實(shí)際問(wèn)題代數(shù)方程5次以上的方程無(wú)求根公式超越方程：包含超越函數(shù)，如sinx,lnx,ex近似求解1問(wèn)題的提出求根的隔離區(qū)間，即確定根所在區(qū)間根的精確化。粗糙的近似值--->滿(mǎn)足精度的近似值方程求根步驟：1問(wèn)題的提出求根的隔離區(qū)間設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)，且有f(a)f(b)<0，則在[a,b]內(nèi)方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根。函數(shù)y=f(x)與橫軸(y=0)交點(diǎn)f(x)=0→f1(x)=f2(x)，函數(shù)f1(x)與f2(x)的交
3、點(diǎn)區(qū)間[a,b]內(nèi)選擇x1,x2,x3,x4……，根據(jù)f(x)在這些點(diǎn)上值的符號(hào)確定2二分法二分法也稱(chēng)對(duì)分區(qū)間法、對(duì)分法等，是最簡(jiǎn)單的求根方法，屬于區(qū)間法求根類(lèi)型。設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)，且有f(a)f(b)<0，則在[a,b]內(nèi)方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根。2二分法誤差估計(jì)對(duì)于所給定的精度ε，則可得2二分法例3用二分法求下列方程在區(qū)間[0,1]內(nèi)的實(shí)根，要求有3位有效數(shù)字。3迭代法基本思想：逐次逼近粗糙的初值校正后的近似值迭代公式END滿(mǎn)足精度不滿(mǎn)足精度3迭代法可得序列{xk}:
4、x0,x1,x2,x3,……如果當(dāng)k→∞時(shí)，序列{xk}有極限x*，則x*是方程f(x)=0的根?！叫蛄杏袠O限：迭代公式收斂序列無(wú)極限：迭代公式發(fā)散用迭代法求下列方程在區(qū)間[2,4]的根。3迭代法取x0=4，則收斂3迭代法取x0=4，則發(fā)散幾何意義3迭代法假設(shè)迭代函數(shù)φ(x)在[a,b]上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足當(dāng)x?[a,b]時(shí)，φ(x)?[a,b]；存在正常數(shù)L<1，使得
5、φ’(x)
6、?L;則方程在[a,b]上有唯一根x*對(duì)任意x0?[a,b]，迭代格式xk+1=φ(xk)都收斂到x*定理1
7、定義1：局部收斂性對(duì)于方程x=φ(x)，若在x*的某個(gè)領(lǐng)域S={x
8、x?[x*-δ,x*+δ]}內(nèi)，對(duì)任意初值x0?S，迭代格式xk+1=φ(xk)都收斂，則稱(chēng)該迭代格式在x*的附近是局部收斂的。3迭代法定理3設(shè)方程x=φ(x)有根x*，且在x*的某個(gè)領(lǐng)域S={x
9、x?[x*-δ,x*+δ]}內(nèi)存在一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)
10、φ’(x*)
11、<1時(shí)，迭代格式xk+1=φ(xk)局部收斂當(dāng)
12、φ’(x*)
13、>1時(shí)，迭代格式xk+1=φ(xk)發(fā)散3迭代法迭代法的收斂速度（收斂階）p=1，且0<
14、c
15、<1，稱(chēng)為線(xiàn)性收斂p
16、=2，稱(chēng)為平方收斂假設(shè)迭代函數(shù)φ(x)在[a,b]上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足當(dāng)x?[a,b]時(shí)，φ(x)?[a,b]；存在正常數(shù)L<1，使得
17、φ’(x)
18、?L;則方程在[a,b]上有唯一根x*對(duì)任意x0?[a,b]，迭代格式xk+1=φ(xk)都收斂到x*定理1定理2.4若φ(x)在x*附近的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有p階(p≥1)連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且φ(x*)=x*,φ’(x*)=0,……φ(p-1)(x*)=0,φ(p)(x*)≠0,則對(duì)一個(gè)任意靠近x*的初始值x0，迭代公式xk+1=φ(xk)是p階收斂的，且有3迭代法
19、3迭代法迭代法的收斂速度（收斂階）p=1，且0<
20、c
21、<1，稱(chēng)為線(xiàn)性收斂p=2，稱(chēng)為平方收斂假設(shè)迭代函數(shù)φ(x)在[a,b]上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足當(dāng)x?[a,b]時(shí)，φ(x)?[a,b]；存在正常數(shù)L<1，使得
22、φ’(x)
23、?L;則方程在[a,b]上有唯一根x*對(duì)任意x0?[a,b]，迭代格式xk+1=φ(xk)都收斂到x*定理1定理2.4若φ(x)在x*附近的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有p階(p≥1)連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且φ(x*)=x*,φ’(x*)=0,……φ(p-1)(x*)=0,φ(p)(x*)≠0,則對(duì)一個(gè)任意靠
24、近x*的初始值x0，迭代公式xk+1=φ(xk)是p階收斂的，且有2.3迭代法2.4牛頓法牛頓迭代公式幾何意義x2x0x1x*牛頓迭代法x3y=f(x)4牛頓法局部收斂性定理2.3設(shè)方程x=φ(x)有根x，且在x*的某個(gè)領(lǐng)域S={x
25、x?[x*-δ,x*+δ]}內(nèi)存在一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)
26、φ’(x*)
27、<1時(shí)，迭代格式xk+1=φ(xk)局部收斂當(dāng)
28、φ’(x*)
29、>1時(shí)，迭代格式xk+1=φ(xk)發(fā)散4牛頓法局部收斂性定理4若
