淺述定積分的計(jì)算方法

《淺述定積分的計(jì)算方法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、蘭州文理學(xué)院學(xué)生畢業(yè)論文題目：淺談三角形的五心作者：楊旭杰指導(dǎo)老師：楊海霞師范學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)教育專業(yè)2011級(jí)三年制4班2014年01月05日主要內(nèi)容簡(jiǎn)介：本文就三角形的五個(gè)心作了簡(jiǎn)單的表述，因三角形的五心概念抽象、定理較多容易哄笑，我們不僅在理論學(xué)習(xí)中難以理解掌握，在定積分計(jì)算中難度也很大，往往面對(duì)一個(gè)題目不知道怎樣做，所以本文中歸納了幾種常見的例題，為初學(xué)者提供更方便以便于讀者一次性將其三角形的重心、內(nèi)心、外心、垂心、旁心學(xué)習(xí)的更加清楚，其中有利用定義計(jì)算定積分、牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法等。定積分的計(jì)算方法和技巧很多，同時(shí)定積分的計(jì)算方

2、法不是各自孤立的，很多題目都可能是幾種計(jì)算方法聯(lián)合使用，只有多練習(xí)才能熟能生巧。定積分是某種特殊和式的極限,定積分不僅是積分學(xué)的基礎(chǔ)，而且是概率統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)等課程的重要知識(shí)工具，因此，本文現(xiàn)就教材中常用的五心加以歸納,以便在學(xué)習(xí)的過程中,對(duì)積分有一個(gè)系統(tǒng)的了解。淺述定積分的計(jì)算方法摘要：定積分的概念抽象、定理較多，我們不僅在理論學(xué)習(xí)中難以理解掌握，在定積分計(jì)算中難度也很大，往往面對(duì)一個(gè)題目不知道怎樣做。對(duì)定積分計(jì)算方法的掌握程度,會(huì)直接影響后續(xù)課程的學(xué)習(xí),因此，本文現(xiàn)就教材中常用定積分計(jì)算方法加以歸納,以便在學(xué)習(xí)的過程中,對(duì)積分有一個(gè)系統(tǒng)的了解.關(guān)鍵詞：內(nèi)

3、心；外心；重心；垂心；旁心定積分的概念是學(xué)習(xí)定積分的基礎(chǔ)，它上承導(dǎo)數(shù)、不定積分，下啟定積分的應(yīng)用、重積分、曲線積分、曲面積分。定積分是積分學(xué)的一個(gè)基本問題，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，許多問題都可以歸結(jié)為計(jì)算題，可以說它是計(jì)算許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)工具，因此定積分的計(jì)算是很重要的。一、利用定積分定義計(jì)算定積分定積分的思想方法是:“分割、取近似、求和、求極限”,實(shí)質(zhì)是在連續(xù)區(qū)間上求和，為計(jì)算方便一般是將區(qū)間分成n等份，每一個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)中的取消區(qū)間的端點(diǎn)坐標(biāo)，先作出積分和，然后令，這時(shí)必有算出積分的極限，我們通過例子來(lái)說明定積分定義的含義。例1：用定積分定義計(jì)算定積分解

4、：將區(qū)間分作等份，則分點(diǎn)的坐標(biāo)為小區(qū)間長(zhǎng)度，取（小區(qū)間的有端點(diǎn)），作為積分和==于是=注：一般來(lái)說，用定義計(jì)算定積分是十分麻煩的，實(shí)際計(jì)算中，并不用上述方法。二、利用牛頓—萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式計(jì)算定積分若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù)F，即，則在上可積且，這就是Newton-Leibniz公式．由此看出：Newton-Leibniz公式刻畫了定積分與不定積分的緊密聯(lián)系，它使得計(jì)算定積分時(shí)，只要找到被積函數(shù)的某個(gè)原函數(shù)，在b,a兩點(diǎn)的函數(shù)值的差就是所求的定積分.Newton-Leibniz公式是最基本的定積分計(jì)算公式，而找到的原函數(shù)是應(yīng)用這

5、個(gè)公式的關(guān)鍵，所以，熟練使用Newton-Leibniz公式的關(guān)鍵是對(duì)不定積分計(jì)算的相當(dāng)熟練.例2.計(jì)算下列定積分：；；；解:.三、利用定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性和分段計(jì)算定積分如果被積函數(shù)含有絕對(duì)值或平方根時(shí)，應(yīng)按絕對(duì)值內(nèi)或平方根被開方式子的正負(fù)號(hào)將積分區(qū)間分段求定積分的代數(shù)和.同樣，對(duì)分段函數(shù)的定積分，也一個(gè)按分段情況逐段積分.分段求定積分的幾種情況：（1）在積分區(qū)間內(nèi)，被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)要用定積分對(duì)區(qū)間的可加性:先在各區(qū)間分段分別計(jì)算積分，然后相加。（2）被積函數(shù)含最大值或最小值符號(hào)時(shí)，先將最大值或最小值符號(hào)去掉，表示成分段函數(shù)，再求積分。（3）被積函

6、數(shù)含取整函數(shù)時(shí)，要用定積分對(duì)區(qū)間的可加性求定積分。（4）被積函數(shù)含絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，先把絕對(duì)值符號(hào)去掉，表示成分段函數(shù)再求積分。（5）被積函數(shù)偶次方根開方時(shí)一般要取絕對(duì)值，然后按（4）所述求定積分。（6）對(duì)變上限的定積分，先討論和確定變限的取值范圍。求積分時(shí)，下限固定，按上限的取值范圍分別求定積分。（7）被積函數(shù)含參量時(shí)，假設(shè)t是積分變量是參變量。在求積分時(shí)，是常數(shù)，但又可任意取值。先確定的可能取值范圍，按的取值范圍分別求積分。做以下幾個(gè)分段例題，對(duì)以上說的這幾類分段情況加以了解。例3.計(jì)算定積分：（1）；（2），其中解：（1）原式（2）四、利用換元積分法計(jì)算定

7、積分不定積分的換元積分法有兩種類型，同樣定積分的換元積分法也有兩種類型：當(dāng)用第一類換元積分法（湊微分法）求定積分時(shí)，若未引進(jìn)新的積分變量，則積分上、下限不變；當(dāng)用第二類型換元積分法（變量置換法）求定積分時(shí)，由于引進(jìn)了新的積分變量，因此，積分上、下限要作相應(yīng)的改變。雖然定積分與不定積分通過N-L公式發(fā)生了內(nèi)在聯(lián)系，它把定積分的復(fù)雜計(jì)算歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù)，但有時(shí)找被積函數(shù)的原函數(shù)很麻煩，更為嚴(yán)重的是，有些被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示出來(lái)，因而不能用N-L公式計(jì)算借用變量代換所換得的結(jié)果卻可以求出定積分。對(duì)于原函數(shù)不能用初等函數(shù)來(lái)表示的，此時(shí)利用定積分

8、性質(zhì)和換元積分法往往可以使一些積分相互抵消，最終求得