第7講 函數(shù)模型及其應(yīng)用

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1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué)[人教版]高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座7）—函數(shù)模型及其應(yīng)用一．課標(biāo)要求：1．利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長(zhǎng)差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義；2．收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。二．命題走向函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，高考對(duì)應(yīng)用題的考察即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢(shì)。高考中重視對(duì)環(huán)境保護(hù)及數(shù)學(xué)課外的的綜合性應(yīng)用題等的考察。出于“立意”和創(chuàng)設(shè)情景的需要，函數(shù)試題設(shè)置

2、問(wèn)題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考察，加大函數(shù)應(yīng)用題、探索題、開(kāi)放題和信息題的考察力度，從而使高考考題顯得新穎、生動(dòng)和靈活。預(yù)測(cè)2007年的高考，將再現(xiàn)其獨(dú)特的考察作用，而函數(shù)類應(yīng)用題，是考察的重點(diǎn)，因而要認(rèn)真準(zhǔn)備應(yīng)用題型、探索型和綜合題型，加大訓(xùn)練力度，重視關(guān)于函數(shù)的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)和方法尋求規(guī)律找出解題策略。（1）題型多以大題出現(xiàn)，以實(shí)際問(wèn)題為背景，通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，解釋問(wèn)題；（2）題目涉及的函數(shù)多以基本初等函數(shù)為載體，通過(guò)它們的性質(zhì)（單調(diào)性、極值和最值等）來(lái)解釋生活現(xiàn)象，主要涉計(jì)經(jīng)濟(jì)、環(huán)保、能源、健康等社會(huì)

3、現(xiàn)象。三．要點(diǎn)精講1．解決實(shí)際問(wèn)題的解題過(guò)程（1）對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象概括：研究實(shí)際問(wèn)題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的主、被動(dòng)關(guān)系，并用x、y分別表示問(wèn)題中的變量；（2）建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；（3）求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù)知識(shí)求得函數(shù)模型的解，并還原為實(shí)際問(wèn)題的解.這些步驟用框圖表示：實(shí)際問(wèn)題函數(shù)模型實(shí)際問(wèn)題的解函數(shù)模型的解抽象概括還原說(shuō)明運(yùn)用函數(shù)性質(zhì),www.yihuan168.com,桿鬻阬2．解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)著

4、重培養(yǎng)下面一些能力：（1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)的能力：通過(guò)分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；（2）建立函數(shù)模型的能力：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問(wèn)題的目標(biāo)表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過(guò)程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記考察函數(shù)的定義域；（3）求解函數(shù)模型的能力：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大（?。┲?，計(jì)算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用。四．典例解析題型1：正比例、反比例和一次函數(shù)型例1．某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬(wàn)公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況

5、，進(jìn)行了連續(xù)5年的觀測(cè)，并將每年年底的觀測(cè)結(jié)果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進(jìn)行預(yù)測(cè)：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f(wàn)公頃；（2）如果從2000年底后采取植樹(shù)造林等措施，每年改造0.6萬(wàn)公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠面積減少到90萬(wàn)公頃？?觀測(cè)時(shí)間1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底該地區(qū)沙漠比原有面積增加數(shù)（萬(wàn)公頃）0.20000.40000.60010.79991.0001?解析：（1）由表觀察知，沙漠面積增加數(shù)y與年份數(shù)x之間的關(guān)系圖象近似地為一次函數(shù)y=

6、kx+b的圖象。將x=1，y=0.2與x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，所以y=0.2x（x∈N）。因?yàn)樵猩衬娣e為95萬(wàn)公頃，則到2010年底沙漠面積大約為95+0.5×15=98（萬(wàn)公頃）。（2）設(shè)從1996年算起，第x年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬(wàn)公頃，由題意得95+0.2x－0.6(x－5)=90，解得x=20（年）。故到2015年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬(wàn)公頃。,www.yihuan168.com,桿鬻阬點(diǎn)評(píng)：初中我們學(xué)習(xí)過(guò)的正比例、反比例和一元一次函數(shù)的定義和基本性質(zhì)，我們要牢固掌握。

7、特別是題目中出現(xiàn)的“成正比例”、“成反比例”等條件要應(yīng)用好。例2．（2006安徽理21）（已知函數(shù)在R上有定義，對(duì)任何實(shí)數(shù)和任何實(shí)數(shù)，都有（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明其中和均為常數(shù)；證明（Ⅰ）令，則，∵，∴。（Ⅱ）①令，∵，∴，則。假設(shè)時(shí)，，則，而，∴，即成立。②令，∵，∴，假設(shè)時(shí)，，則，而，∴，即成立?！喑闪ⅰ｜c(diǎn)評(píng)：該題應(yīng)用了正比例函數(shù)的數(shù)字特征，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。而不是一味的向函數(shù)求值方面靠攏。題型2：二次函數(shù)型例3．一輛中型客車的營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x（x∈N）的變化關(guān)系如表所示，則客車的運(yùn)輸年數(shù)為（）時(shí)該客車的年平均

8、利潤(rùn)最大。（A）4（B）5（C）6（D）7x年468…（萬(wàn)元）7117…解析：表中已給出了二次函數(shù)模型，由表中數(shù)據(jù)知，二次函數(shù)的圖象上存在三點(diǎn)（4，7），（6，11），（8，7），則,www.yihuan1