第十三講 海底地形圖測(cè)量的數(shù)學(xué)模型(1)

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1、第十三講第十三講海底地形測(cè)量圖的插值模型海底地形測(cè)量圖的插值模型一、問題的提出隨著全球經(jīng)濟(jì)一體化和信息技術(shù)的發(fā)展，企業(yè)之間的合作日益加強(qiáng)，跨地區(qū)甚至跨國合作制造的趨勢(shì)日益明顯。國際上越來越多的制造企業(yè)不斷地將大量常規(guī)業(yè)務(wù)“外包”（outsourcing）出去給發(fā)展中國家，而只保留最為核心的業(yè)務(wù)（如市場(chǎng)、關(guān)鍵系統(tǒng)設(shè)計(jì)和系統(tǒng)集成、總裝配以及銷售）。在這些合作生產(chǎn)的過程中，大量的物資和信息在更為廣闊的地域間轉(zhuǎn)移、儲(chǔ)存和交換，國際物流活動(dòng)將日益頻繁，港口作為國際物流活動(dòng)主要的載體，在國際貿(mào)易與國際經(jīng)濟(jì)合作中

2、愈來愈發(fā)揮著極其重要的作用。但是海底的地形是十分復(fù)雜的，它不僅分布有巍峨的海底山脈、平緩的海底平原，而且還有許多陡峭的海底深溝。為使輪船進(jìn)出港口安全，就需要了解港口航道的海底地形。表1給出了水面直坐標(biāo)（x，y）處的水深z，這是在低潮測(cè)得的。如果船的吃水深度為5Ft，試問在矩形區(qū)域(75，200)×(50，50)中行船應(yīng)避免進(jìn)入哪些區(qū)域？其中水平方向的坐標(biāo)x,y以Yd(=0.914m)為單位，水深方向以Ft(=30.48cm)為單位.xx((YYdd))129.0140.0108.588.0185.5

3、195.5105.5yy((YYdd))7.5141.528.0147.022.5137.585.5zz((FFtt))4868688xx((YYdd))157.5107.577.081.0162.0162.0117.5yy((YYdd))-6.5-81.03.056.5-66.584.0-38.5zz((FFtt))9988949二、模型假設(shè)1.海底是光滑的，且無暗礁;2.每個(gè)給定的數(shù)據(jù)都影響著其它未知點(diǎn)的深度，且距離越近，影響越大;3.任何兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間深度的變化都影響著其它未知點(diǎn)的深度;4.對(duì)

4、于給定兩個(gè)數(shù)據(jù)的變化對(duì)于某一未知點(diǎn)深度的影響，取決于三個(gè)距離：兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連線與該未知點(diǎn)的垂直距離、該未知點(diǎn)與離它最近的那個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離及兩個(gè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離;5.兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間深度的變化對(duì)某一未知點(diǎn)深度的影響與這兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連線線性傳播;6.每一個(gè)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)某一未知點(diǎn)深度的影響它們之間的距離平方成反比。三、分析與建摸根據(jù)假設(shè)條件海底是光滑的，無暗礁，因此很自然地想到利用光滑曲面來擬合海底曲面。例如可以用二維拉格朗日(Lagrange)插值或雙三次樣條函數(shù)來逼近?？紤]到保凸性及光滑性的要求，

5、我們采用雙三次樣條函數(shù)來擬合.為了用雙三次樣條函數(shù)插值，必須知道xoy平面內(nèi)所有網(wǎng)格上的深度，而所給數(shù)據(jù)的14個(gè)隨機(jī)點(diǎn)并不構(gòu)成任何網(wǎng)格。所以第一步生成網(wǎng)格：我們采取最簡(jiǎn)單的方法是過個(gè)14數(shù)據(jù)點(diǎn)分別作平行于x，y軸的直線，劃分成不規(guī)則14×14的網(wǎng)格。150100500-5080100120140160180第二步確定那些未知點(diǎn)數(shù)據(jù)網(wǎng)格上的深度：應(yīng)該說所有數(shù)據(jù)對(duì)未知網(wǎng)格的深度都有影響，只是越靠近的數(shù)據(jù)點(diǎn)影響越大。由于我們對(duì)海底所知甚少，所以只能通過某種加權(quán)平均來逼近未知網(wǎng)格接點(diǎn)上的深度，采用距離的倒數(shù)

6、作權(quán)重反映出距離越小影響越大。但僅用加權(quán)平均來逼近未知點(diǎn)的深度，它不能反映數(shù)據(jù)點(diǎn)深度的變化趨勢(shì)。設(shè)Q，Q點(diǎn)的深度分別為4Ft和8Ft，G是QQ連線上1212未知深度的點(diǎn)(見圖1)，QQ12==GQ14Ft，求G點(diǎn)的深度z。g根據(jù)光滑假設(shè)，由點(diǎn)Q經(jīng)點(diǎn)Q到G點(diǎn)的深度應(yīng)漸漸變21淺，因此，未知點(diǎn)G的深度應(yīng)小于4Ft。Q14Q24Gx<448z下面用三種外推公式加以分析：1.加權(quán)平均外推公式zQ(,Q,G)zQ(,Q,G)1122+22GQGQ12z==4.8Ftg11+22GQGQ12其中z(Q,Q,G)

7、和z(Q,Q,G)分別表示Q,Q點(diǎn)的深度4Ft112212和8Ft。顯然，z不符合小于4Ft的期望。gQ14Q24Gx44.88z下面用三種外推公式加以分析：2.線性外推公式z=0Ftg這個(gè)外推值又太小，也不符合實(shí)際情況。Q14Q24G0x48z下面用三種外推公式加以分析：2.線性外推公式z(QQ,,)Gz(Q,Q,)Gz(QQ,,)G112212++2222GQGQGQ+QQ12212z=g111++2222GQGQGQ+QQ12212=3.4Ft其中z(Q,Q,G)為線性外推值。這種外推比較合理

8、.12Q14Q24Gx3.448z現(xiàn)將上述一維情況變成二維情況，即未知點(diǎn)G不在已知點(diǎn)Q，Q的連線上。根據(jù)假設(shè)4，Q，Q點(diǎn)對(duì)G點(diǎn)深度1212的影響取決于三個(gè)距離：GP,,GQGQ，其中P是G到QQ1212延長(zhǎng)線的垂足。利用上面的分析結(jié)果修改權(quán)因子，得到如下的加權(quán)平均：zQ(,Q,)PzQ(,Q,)PzQ(,Q,)P112212++22222GQGQGP++GQQQ12112z=g111++22222GQGQGP++GQQQ12112PQ1QQ12Q2GPGQG1zg為了