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《函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)方法探討》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、第#卷第)期R?K$#:;?(@A;56"%789:/!!*;*/)<=/)*,,"/%9%>?*.7%/
2、!/;@A!8$)39%)BC@D?A8@E?F6GHI:J;K69;FIK6EG@:EI;I6DJ?7JKAL6E;M6NF6G@?LE;7LG6J@7:OA6E?ML6P6K?IF67GMD?F;MA7JG:?7G?I?N6DE6D:6E$:+;6’3-$BMA7JG:?7-I?N6DE6D:6E-L6P6K?IF67G01引言&%解：已知*&%!（-13&301）級(jí)數(shù)是進(jìn)行函數(shù)研究和近似計(jì)算的重要工具，%’(%2因#&’*&!%#，只要將*&展開式中的&替換成它在數(shù)學(xué)和工程技術(shù)中有著極廣泛的應(yīng)用。將一個(gè)01函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)是
3、級(jí)數(shù)部分最重要的運(yùn)算之一。（&!%#）%&!%#&!%#展開式*&!%#"·#&，即得*%!&所以&%展開的方法一般有兩種，一是直接展開法，即先求%’(%20101各階導(dǎo)數(shù)，再按泰勒級(jí)數(shù)或麥克勞林級(jí)數(shù)寫出，最"&!%#"（&!%#）%（!%#）%%’"&*%&!%!·&（-13&301）后在級(jí)數(shù)收斂區(qū)間內(nèi)要證明%!!"#1$%（&）’(。二是間接%’(%2%’(%2展開法，即利用某些已知的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開!"%例"在幾何級(jí)數(shù)%!’4’4’?’4’?式和冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及分析運(yùn)算的性質(zhì)，推出相!(4（-!343!）中分別令4’-
4、&+-&"&&"便可得出下列函數(shù)應(yīng)的展開式。用直接展開法將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，工作量大，且)（%）（&）的規(guī)律難以尋求，還要驗(yàn)證余項(xiàng)的展開式的極限是否趨向于零，有時(shí)這樣做是比較復(fù)雜的，!%!(&’&"(&#’?’（(!）%&%’?（-!3&3!）甚至是比較困難的，為了避免對(duì)余項(xiàng)的討論，經(jīng)常!0&使用間接展開法，巧妙地利用已知函數(shù)的展開式和!%!(&"’&)(&*’%"%?’（(!）&’?（-!3&3!）冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，常能化難為易，簡(jiǎn)化計(jì)算，收到事半!0&"功倍的效果。本文就間接展開法舉幾例，探討其解!%!’&"’&)’&*’"%題方
5、法與技巧，期望對(duì)教學(xué)有所幫助。"?’&’?（-!3&3!）!-&!通過變量代換，直接套用*&+,"%&+例#在二項(xiàng)展開式!###（#(!）"!%&++./,&+（!0&）這些函數(shù)的冪級(jí)（!’&）%!’#&’&’?!-&"+#（#(!）?（#(%’!）%數(shù)展開式，把所給函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)?！?0?（-!3&3!）%+例!將&"·#&展開為&的冪級(jí)數(shù)$!!中，令#’&#’(&#’("&#’(#,#為任意實(shí)""收稿日期："22#(!2("Q吳鳳香金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院副教授，#"!2!/金華市方曉華金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院副教授第
6、.期吳鳳香等：函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)方法探討.!!!!!"!數(shù)）便可得到!!"!###這些例%將函數(shù)#（!）&展開成!的冪級(jí)數(shù)-（!"!）$（!"!）%（!)!）%!!"!函數(shù)的展開式，不過在區(qū)間的端點(diǎn)!&’!處，展開式解法&3利用待定系數(shù)法可求得!!"!)!$是否成立，要看(的數(shù)值而定。如"&#!&’!處展#（!）&%&$"%$（!)!）（!)!）（!)!）!)!)!開式都成立。而當(dāng)"&)時(shí)，!&!時(shí)展開式成立，而分析3"’!&":$（!)!）$!)!在!&)!處，則展開式不成立。應(yīng)注意，寫出函數(shù)展$!"’!&":（!)!）%（!)!）
7、$開式時(shí)，一定要給出展開區(qū)間。否則，解題欠完整。!首先展開導(dǎo)函數(shù)，然后用逐項(xiàng)積分")!’!&!$（!)!）":!)!的方法求出原函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式!!$"’!&":例"求函數(shù)#（!）&!*（!"!!"!）的冪級(jí)數(shù)展（!)!）$!)!開式。!’$7+$（!)!）%8解：注意到!*（+"!!"!$）,&!可知!%!&)!"$$$%!!"!$’!（!)!）（!)!）而由（!"!）"的展開式可求得&#（!）!$!%!$!&!)!（!$）"!-%（!$）$)!-%-/（!$）%"?已知+$（!)!）&)（!%"%?%%?）!!"!$$$-.
8、$-.-0$%$（)!!!,!）"$（$$)!）11（!$）$（)!）"?（$$）??！!&!"!"!$"!%"?"!$"?（)!,!,!）!)!將上式兩端從2到!逐項(xiàng)積分，即可得到!對(duì)上式兩端求導(dǎo)兩次得$’!!$（!%!!"!）&"%(2!"!$)
