應(yīng)用格林函數(shù)的土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用分析

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1、結(jié)構(gòu)工程師增刊全國(guó)結(jié)構(gòu)計(jì)算理論與工程應(yīng)用學(xué)術(shù)會(huì)議論文集2003.同濟(jì)火學(xué)應(yīng)用格林函數(shù)的土一結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用分析王健李延濤李忠獻(xiàn)(天津大學(xué)建筑工程學(xué)院天津300072)摘要:本文應(yīng)用格林函數(shù)建立了土·結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用分析的一種簡(jiǎn)單方法，避免高斯積分中的奇異性。關(guān)健詞:土一結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用，格林函數(shù)，高斯積分.奇異性1引言數(shù)十年來(lái)，土一結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的問(wèn)題引起了國(guó)內(nèi)外的廣泛重視和研究。隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展涌現(xiàn)出了越來(lái)越多的數(shù)值計(jì)算方法。其中邊界元法由于能通過(guò)選取適當(dāng)?shù)募訖?quán)函數(shù)可使波在無(wú)窮遠(yuǎn)處的輻射條件自動(dòng)滿足遠(yuǎn)場(chǎng)的輻射條件，無(wú)需引人

2、人工邊界，因此在土一結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用分析中得到了廣泛的應(yīng)用。按照經(jīng)典邊界元法，格林函數(shù)是由基本解經(jīng)高斯積分后所得到的川。由于在與基礎(chǔ)相接觸的土體界面上高斯積分的奇異性。杜修力、熊建國(guó)121在邊界積分方程中用與所研究問(wèn)題相對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)解代替基本解作權(quán)函數(shù)來(lái)避免奇異積分問(wèn)題。傅鐵銘、熊建國(guó)I;1將域外源點(diǎn)邊界元法應(yīng)用于彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，把源點(diǎn)取在所研究問(wèn)題的區(qū)域之外避免了對(duì)奇異積分的處理，且由于源點(diǎn)遠(yuǎn)離邊界而使源點(diǎn)附近單元的積分精度在相同的單元數(shù)值積分條件下有所提高。本文以Wolf提出的通過(guò)Green函數(shù)作權(quán)函數(shù)的間接邊界元計(jì)算地基動(dòng)

3、力剛度矩陣的理論和波動(dòng)方程為基礎(chǔ)，以埋置基礎(chǔ)為例，建立了應(yīng)用Green函數(shù)的土一結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用分析的一種簡(jiǎn)化方法。2格林函數(shù)的建立2.1平面外運(yùn)動(dòng)的格林函致壇.(--))如圖1所示，作用在Y方向、結(jié)點(diǎn)值為4，和92的沿基礎(chǔ)埋深a線性分布的荷載。由于荷載只作用在部分土層上，在9.和92處引入兩個(gè)交界面。首先，假定作用分布荷載的土層固定在兩個(gè)交界面上，計(jì)算滿足這樣條件的相應(yīng)反力及位移反應(yīng)。然后，將反力以相反方向作用到總體系上，計(jì)算相應(yīng)的位移反應(yīng)?？偡磻?yīng)是上述兩個(gè)結(jié)果的疊加。少/一{豐子一之/屏廠少奮·詳戶\~一//‘圖1格林函數(shù)

4、求解原理萬(wàn)方數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)工程師增刊全國(guó)結(jié)構(gòu)計(jì)算理論與工程應(yīng)用學(xué)術(shù)會(huì)議論文集2003.同濟(jì)大學(xué)分布荷載幅值隨x變化的規(guī)律與位移，相同(即exp卜ikx))，而隨:的線性變化規(guī)律為2，、、..q(z)=q,+(q2一q,)zld了由彈性動(dòng)力學(xué)基本方程推得分布荷載作用下平面外運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力平衡方程為了2、‘J一k'G'v+G'vs=-pcoz，一(1一zld)q,一(zld)gz、產(chǎn)由觀察可得特解為(3)v'(z)=[;，一(。、一。2)乓]G'k't'a式中上標(biāo)t代表特解。將在z=0或d代入上式得兩端面上相應(yīng)得位移幅值為(4)v=一q,IG

5、'kY，vz=一g21G'kIt2由虎克定律及應(yīng)變一位移關(guān)系，得到固定端面反力的特解Q二一Tr，一q2一q,脈2t2，Q'=1-;z2一q，一g2ldk2t2(5)根據(jù)固定端面處位移為零，端面反力的齊次解與負(fù)的v{和述相對(duì)應(yīng)，采用平面外土層動(dòng)力剛度矩陣Is.,I計(jì)算9，9(齊次解用。表示)「‘，則總反力為11一一一-丁-q、.lk比1一ctgktd滬北dt--6.11夕價(jià)1..1.少ee一-----IQil)2lI一=-I(QK"l一fQl?}-`}湯無(wú)d+—無(wú)毖1Jsinktd將總反力以相反方向作用在體系上，由直接剛度法，離散

6、整個(gè)土層體系，集整[41土層和基巖半空間剛度矩陣[[S.,Nl。離散土層時(shí)，將受荷載作用的土層離散為兩個(gè)子層，其中第一層厚度取為未知量z(如果界面S經(jīng)過(guò)兒種土層則第一層應(yīng)取在最上面土層中，然后再根據(jù)土層交界面和子層厚度劃分公式121h5c,,14fix(7)對(duì)于一般情況下建筑物的基礎(chǔ)埋置深度，上述離散方法可滿足公式(18)。這樣可得IQ卜IS.1-11(8)求得反向外荷載作用下的位移反應(yīng)v'(Z)=低(二))1q}(9)疊加公式(3)得到基本解v(z)二[(g;.(z))+('(z)Mq}=fig..(z)Xgl(10)由上式即

7、可得到平面外運(yùn)動(dòng)的格林函數(shù)壇=(z))=2.2平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的格林函數(shù)I&(z))與平面外的運(yùn)動(dòng)格林函數(shù)的求解過(guò)程相仿，在分布荷載作用下P(z)二Pi+(P2一p,)z/dr(z)=r,+(r,7r,)z/d(11)建立動(dòng)力平衡方程后，觀察可得沿z軸線性變化規(guī)律可得到特解，為了滿足剛度矩陣對(duì)稱的要求，沿z軸的力和位移向量均乘以虛數(shù)io分別令上式中z=0或d，得到上下兩端面位移特解，并按照平面外運(yùn)動(dòng)的推導(dǎo)方法計(jì)算端面反力特:(u;iw。;iw}Z}.},一IA[AIl，p,ir,pzirz)i(12)份iRiPz'Q217二[BXp,

8、ir,Pzir2)r(13)}?！?，(.:‘}一{:a=ll_一，)(14)LJwIz)JLv,0,Jlz/uJ則總荷載值為{P}一([S,:_1A]-[Bb{p}(15)萬(wàn)方數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)工程師增刊全國(guó)結(jié)構(gòu)計(jì)算理論與工程應(yīng)用學(xué)術(shù)會(huì)議論文集2003.同濟(jì)大學(xué)將總荷載作