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《Timoshenko薄壁梁雙向彎曲與扭轉耦合的振動方程及求解》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第27卷第1期佛山科學技術學院學報(自然科學版)Vol.27No.12009年1月JournalofFoshanUniversity(NaturalScienceEdition)Jan.2009文章編號:1008-0171(2009)01-0054-05Timoshenko薄壁梁雙向彎曲與扭轉耦合的振動方程及求解123黃君毅,王勇,羅旗幟(1.廣州市魯班建筑防水補強公司,廣東廣州510665;2.華南理工大學交通與土木學院,廣東廣州510641;3.佛山科學技術學院土木工程與建筑系,廣東佛山528000)摘要:基于薄壁桿件理論,研究了Timoshenko薄壁梁雙向彎曲與扭轉耦合的
2、振動問題。根據Timoshenko梁的受力特性,考慮了剪切效應影響,給出了薄壁梁質點的位移系數和空間位移場。根據能量泛函變分原理導出了Timoshenko薄壁梁的振動微分方程。運用降階法和頻率掃描法求得微分方程的解析解。算例計算表明,此解析解與有限元法的結果吻合較好。關鍵詞:Timoshenko薄壁梁;彎扭耦合;振動微分方程;解析解中圖分類號:O326文獻標識碼:A薄壁梁具有明顯的空間結構特征,對于截面非對稱結構或在非對稱荷載作用下,存在著彎扭耦合作用,其受力分析比較復雜。近幾十年來,國內外許多學者開展了薄壁梁動力問題的研究。早期的薄壁桿件振動理論大多數假定其彎曲振動和扭轉振動互
3、不耦合。文獻[1-4]在基本橫向振動理論的基礎上,建立了僅考慮一個方向彎扭耦合的振動方程。文獻[5]建立了考慮剪切變形薄壁桿件彎扭耦合的振動方程,但未獲得解析解。因此,目前對薄壁梁雙向彎曲與扭轉耦合的振動問題研究較少。本文考慮了剪切變形的影響,根據能量泛函變分原理,推導出Timoshenko薄壁梁雙向彎曲與扭轉耦合的振動微分方程,并運用降階法和頻率掃描法獲得精確解。1振動微分方程的建立1.1基本假定薄壁桿件理論Vlasov基本假設,忽略了橫截面的彎曲剪切變形的影響。在考慮橫截面的彎曲剪切變形情況下,Vlasov的基本假設必須給予修正。下面給出考慮彎曲剪切變形影響的Timoshen
4、ko薄壁桿件理論的基本假設。(1)桿件受力而變形的過程中,其橫截面的周邊形狀投影始終保持不變。圖1薄壁桿件位移模式收稿日期:2008-11-03基金項目:國家自然科學基金資助項目(50378019);廣東省自然科學基金資助(034066)作者簡介:黃君毅(1980-),男,廣東佛山人,廣州市魯班建筑防水補強公司碩士。王勇(1956-),男,湖南衡陽人,華南理工大學副教授,碩士生導師。羅旗幟(1955-),男,浙江溫州人,佛山科學技術學院教授,博士,碩士生導師。第1期黃君毅等:Timoshenko薄壁梁雙向彎曲與扭轉耦合的振動方程及求解55(2)桿件除受有圣維南扭轉剪切變形外,還考
5、慮彎曲剪切變形。(3)桿件截面任意一點的彎曲剪切變形相等。1.2振動微分方程如圖1所示,截面上任意一點的位移函數表達式為b′b′U(x,y,z)=u(x)-yv(x)-zw(x)+θ′(x)k(y,z),sbV(x,y,z)=v(x)+v(x)-zθ(x),(1)sbW(x,y,z)=w(x)+w(x)+yθ(x)。基于剪切中心的彈性應變能表達式為112b″2b″2s″2U=(EAu′+EIyyvs+EIzzws+EIwθ)dx+2∫0111s′2s′21′2(GAyv+GAzw)dx+GIkθdx,(2)2∫02∫0式(2)中,Ay、Az分別為y、z軸方向的等效剪切面積。外力所
6、做的功為1sbsbb′b′W=∫[qxu+qy(v+vs)+qz(w+ws)-mxθ-myws+mzvs]dx,(3)0可求得動能表達式為112b′2b′2s′2sb2sb2T=d[(Au+Iyyvs+Izzws+Iwθ)]+A[(v+vs)+(w+ws)]+2∫0sbsb2222Azs(v+vs)θ-2Ays(w+ws)θ+(Iyy+Izz+Azs+Ays)θ]dx。(4)[7]運用能量變分原理,求出薄壁桿件U、W、T的一階變分式并令其上、下限積分值為0,由虛功方程WU-WW-WT=0,(5)得到薄壁桿件自由振動微分方程組為EAu″-dAu=0,dEAI22yydAIyydAI
7、yyEIyyv″s″-(dIyy+)v″s+vs+dAvs+zsθ-GAyGAyGAydEAIyyzsθ″+dAzsθ=0,GAydEAI22(6)zzdAIzzdAIzzEIzzw″s″-(dIzz+)ws″+ws+dAws-ysθ+GAzGAzGAzdEAIzzysθ″-dAysθ=0,GAzss22EIwθ″″-dIwθ″-GIkθ″+d(Iyy+Izz+Ays+Azs)θ+dAzsvs-dAysws=0。式(6)中,E為彈性模量,G為剪切模量,A、Ay、Az為截面面積和y
