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1、2中等數(shù)學數(shù)學活動課程講座和差代換在解競賽題中的應用陸月平(江蘇省泰州中學附屬初中,225300)中圖分類號:O122文獻標識碼:A文章編號:1005-6416(2010)03-0002-03(本講適合初中)14-65=a-b.!對于任意實數(shù)x、y,恒有22?!、+!分別得x+yx-yx+yx-ya2-b2=4,#x=+,y=-.222222a+b=14.?x+yx-y2令=a,=b.則?-#得b=5.22x=a+b,y=a-b.因為b>0,所以,b=5.此種代換稱做和差代換.和差代換是一故待求式=(a+b)-(a-b)=25.種非常重要的解題技巧,其應用很廣泛.例3
2、已知實數(shù)x、y、z滿足x-y=8,2xy+z=-16.則x+y+z=.1求代數(shù)式的值解設x=a+b,y=a-b.則22x-y=2bb=4.例1已知a+b=6ab,且a>b>0.則2a+b因為xy+z=-16,所以,=.2a-b(a+b)(a-b)+z+16=0.222(2001,北京市中學生數(shù)學競賽(初二))又-b=-16,則a+z=0.解設a=x+y,b=x-y.代入已知等由非負數(shù)性質知a=0,z=0.22式并化簡整理得4x=8y.因此,x=4,y=-4.因為a>b>0,所以,x>y>0.故x+y+z=4-4+0=0.2xx故2=2=2.2求最大值和最小值yy22注
3、意到a+b=2x,a-b=2y.例4已知實數(shù)x、y滿足4x-5xy+4ya+b2xx2211因此,===2.=5,設S=x+y.則+=a-b2yySmaxSmin(max表示最大值,min表示最小值).例2計算14+65-14-65的解設x=a+b,y=a-b.代入已知等值是().22式并化簡整理得3a+13b=5.(A)1(B)5(C)25(D)5253225(2000,全國初中數(shù)學聯(lián)賽)所以,b=-a0%a%.131332222解設14+65=a+b,故S=x+y=(a+b)+(a-b)2220210=2a+2b=a+.收稿日期:2009-05-11修回日
4、期:2009-11-0213132010年第3期321013(x+1)因此,當a=0時,Smin=;2a==13.?13x+1252051010131當a=時,Smax=?+=.聯(lián)立式#、?解得a=,b=?.3133133222113138x+13故+=+=.代入式!得=7或6.SmaxSmin10105x+122例5已知實數(shù)a、b滿足a+ab+b=1,解得x1=1,x2=6,x3=3+2,x4=3-2.22且t=ab-a-b.則t的取值范圍是,經(jīng)檢驗,x1、x2、x3、x4都是原方程的根.tmax=,tmin=.x+xy+y=1,例7方程組2222的實數(shù)(2001,TI杯全國初
5、中數(shù)學競賽)x+xy+y=17解設a=x+y,b=x-y.解(x,y)=.代入已知等式得(1996,東方航空杯上海市初中數(shù)學競賽)22(x+y)+(x+y)(x-y)+(x-y)=1.解設x=a+b,y=a-b.則2222x+y=2a,xy=a-b.化簡得y=1-3x.于是,原方程組變?yōu)?21因為y&0,所以,0%x%.3322a=,22a-b+2a=1,2故t=ab-a-b2222222=(x+y)(x-y)-(x+y)-(x-y)2a+2b+(a-b)=1717b=?.22222=-(x+3y)=-x-3(1-3x)2因此,原方程組的解為=8x-3.3+173-17易知0%
6、8x2%8x1=,x2=,223213-173+17-3%8x-3%-y1=;y2=.32211-3%t%-tmax=-,tmin=-3.4證明等式或不等式332222例8已知x+y=a+b,x+y=a+b.3解方程和方程組2001200120012001求證:x+y=a+b.213x-x13-x(2001,江蘇省泰州市數(shù)學競賽(初二))例6解方程x+=42.x+1x+1證明設x=m+n,y=m-n.則(1998,吉林省長春市數(shù)學競賽(初三))x+ya+bm==.解將原方程變形為2222222213x-xx+13又x+y=(m+n)+(m-n)=42.22x+1x
7、+1=2(m+n),2222213x-x將式代入上式,并結合x+y=a+b,化設=a+b,x+1簡得2x+132=a-b.!n2=(a-b).x+14?!、+!分別得a-bb-a22所以,n=或n=.a-b=42,#224中等數(shù)學a+ba-b是換元轉化,關鍵是構造元和設元,目的是通當m=,n=時,有x=a,y=b;22過引進新的變量,使復雜的計算和推證變得當m=a+b,n=b-a時,有x=b,y=a.容易處理.22可見,無論哪種情況都可得到練習題20012
