論向量積在高維空間的推廣

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1、第3O卷第3期大學(xué)數(shù)學(xué)Vo1．30，№．32014年6月COLLEGEMATHEMATICSJun．2014論向量積在高維空間的推廣劉海峰(上海海洋大學(xué)信息學(xué)院，上海2o1306)[摘要]探討了3維歐氏空間的向量積在高維空間推廣的可能性．在三條假設(shè)下推導(dǎo)出高維空間中的向量積所應(yīng)具備的若干性質(zhì)，證明了在某些意義下向量積僅存在于碾。，并舉例說明與。中向量積不同的根源．[關(guān)鍵詞]歐氏空間；向量積；三重矢積；維數(shù)[中圖分類號]0151．24[文獻標(biāo)識碼]C[文章編號]1672—1454(2014)03—0074-051引言在向量代數(shù)中，對。中的兩個

2、向量定義了兩種乘法：數(shù)積和向量積，也分別稱為向量的點積和叉積(或內(nèi)積和外積)．其中兩個向量的數(shù)積可以自然地推廣至高維空間，并保有3維空間中的運算性質(zhì)和幾何意義，有著廣泛的應(yīng)用．一個自然的想法是將向量積也推廣至高維空間．為此，許多作者沿著不同的方向做了有益的嘗試(見文獻[1—5])．文獻[1]將歐氏空間瓞。的結(jié)果推廣至，其定義的外積是一個碾×璁一的代數(shù)運算．文獻[2，3]定義的外積是×一的二元代數(shù)運算，本質(zhì)上是[1]中外積定義的推廣．雖然文獻[z3指出。中三個向量的雙重矢積在高維(n>3)空間不存在，但其理由(高維空間中的外積不再封閉)并不充

3、分，至多說明那里所定義的外積不能推廣至高維．事實上，對一7就可以定義封閉的外積(見本文末)．而文獻1-33雖然指出凰。的向量積不能直接推廣至，但卻沒有給出證明．文獻[4]對向量積所做的定義與3維空間的最為接近，但是定義中“口×n。與口。，口張成的平面垂直，且三個向量構(gòu)成右手系”的合理性并非顯而易見．該文作者忽略了這樣一個事實，即按照其對向量夾角所做的定義，高維空間中與兩個線性無關(guān)向量張成的平面垂直的方向不止一個．例如在颶中，與e1一(1，0，0，?，0，0)，口2一(0，1，0，?，0，0)張成的平面垂直的向量有e。=(0，0，1，?，0，

4、0)，?，es一(0，0，0，?，1，O)，P一(O，0，0，?，0，1)等多個．因此，那里所定義的向量積實質(zhì)上是不確定的．嚴格地講，文獻[3—5]中所做的是3維空間中混合積的自然推廣，而不是向量積的推廣．因而，上述文獻中所作的推廣均不可能具備3維歐氏空間中向量積的性質(zhì)．事實上，文獻[6]證明了向量積僅存在于3維歐氏空間．該文用到了微分流形和張量分析中較艱深的核心結(jié)論，起點較高．本文嘗試對向量積在高維空間的推廣問題做個清晰的回答．首先用較初等的方法推導(dǎo)了維空間的向量積所應(yīng)具備的若干性質(zhì)，證明了符合式(1)，(2)，(3)以及式(8)的向量積

5、存在于。，然后指出符合式(1)，(2)，(3)的向量積可推廣至，給出了該空間下坐標(biāo)軸上基向量之間的向量積運算法則，并且指明這是向量積在高維空間唯一可能的推廣．2預(yù)備知識首先回顧與數(shù)積和向量積有關(guān)的基本概念．[收稿日期]2o12—03—09[基金項目]上海高校選拔培養(yǎng)優(yōu)秀青年教師科研專項基金(ssco9o24)；上海海洋大學(xué)博士科研啟動金第3期劉海峰：論向量積在高維空間的推廣75定義1碾。中向量的數(shù)積“·”為二元運算．對V口，6∈。，口·6一IaII6IcosO，其中Ial為向量a的模，為向量a和6所成的角．定義2。中的向量積“×”為二元運算

6、．對Va，b∈。，口×6為。中的向量，其模為la×l==：IaI1lsin0，當(dāng)a，不共線時，其方向與a，垂直，且口，b，口×b構(gòu)成右手系．可以證明，以上定義的兩種乘法均是雙線性的，并且數(shù)積是可交換的，而向量積是反交換的，即口·6—6·a，a×一一6×口．且a·口一IaI；當(dāng)且僅當(dāng)a，6平行時有a×b=0．設(shè)a=(口，n，a。)，6一(6，b，b。)，則二者的數(shù)積可用坐標(biāo)表示為口·6一口1b1+azb2+a3b3．向量積可表示為a×6一(口2b3一a3b2，a3b1一n1b3，a1b2一a2b1)．后者也可形式地寫成行列式的形式IIa×6=

7、la1a2口3l，Ib1b2b3I其中，P，分別為碾。中三個坐標(biāo)軸正方向上的單位向量．眾所周知，3維空間中數(shù)積的概念可以自然地推廣至任意維空間凰(≥2)，即對Va一(口1，口2，?，a)，6一(61，b2，?，b)∈”，二者的數(shù)積為n·b=a1b1+口2b2+?+nb一∑alb1．i=1當(dāng)a，均為非零向量時，它們所成角的余弦為口·6∞一麗3主要的推導(dǎo)過程我們要證明的結(jié)論是：并非對任意的≥3都可以定義中的向量積．因此，實際上沒有辦法給出中向量積的嚴格定義，只可以用反證法．假設(shè)中可定義運算封閉且雙線性的向量積，則期望該向量積至少應(yīng)符合如下的運算

8、性質(zhì)：口×口一0，(1)fa×I—laI×If，當(dāng)a·b=O，(2)(口×6)·口：0，(3)其中式(2)成立的條件即兩向量a，6垂直．式(3)中的括號可以去掉而不至于引起歧義，