冪等矩陣的構(gòu)造

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1、萬方數(shù)據(jù)第29卷2009年第2期3月高師理科學(xué)刊J叫mal0fSeierlce《1I船che—Couege加dUniversityV01．29N02Mar．。2009文章編號：1007—983l(2009)02枷21塒冪等矩陣的構(gòu)造吳險峰(齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院．黑龍江齊齊哈爾16l006)摘要：利用相似矩陣、廣義逆矩陣、冪等變換的矩陣、正交投影矩陣、矩陣的譜分解、矩陣的運算等方面的理論給出了構(gòu)造冪等矩陣的幾種方法．關(guān)鍵詞：冪等矩陣；冪等變換；投影矩陣；廣義逆矩陣中圖分類號：0152．12文獻標識碼：A滿足A2=

2、A的n階矩陣A叫做冪等矩陣¨1．顯然九階零矩陣與單位矩陣都是冪等矩陣．冪等矩陣在可對角化矩陣及正規(guī)矩陣的分解中有著特別的意義．冪等矩陣有著很好的性質(zhì)可以利用，例如，非單位的冪等矩陣都不可逆、冪等矩陣可對角化、特征根為1或O、跡等于秩等，因此構(gòu)造冪等矩陣就顯得尤為重要．本文研究非零、非單位的冪等矩陣的構(gòu)造方法．1利用相似法構(gòu)造定理1設(shè)n階矩陣A與矩陣，=(乞3)相似，則A為冪等矩陣．證明由A相似，，設(shè)A=P-1口，則A2=(P_1JP)2=P-1_，2P=P．1胛=A，故A為冪等矩陣．證畢．推論與冪等矩陣相似的

3、矩陣仍為冪等矩陣．r23、r1oo、rl一4—3、r1oo、r23、例1設(shè)P=ll一1oI，，=lolol，貝4A=P．1J：P=Il一5—30olol1一loI=L—l2l／ILoooJL一16’4人ooo人一l2lJ(萼三三]，曰=一胛=(j。孑}](手三三](三尋3]=[彳苫蠆]都是冪等矩2利用廣義逆矩陣構(gòu)造定義1啪設(shè)矩陣A∈肘～(C)，若矩陣x∈肘。。。(C)滿足如下4個Pe腫se方程：A泓=A，咒戧=z，(Ax)‘=AX，(碰)’=泓，則稱x為A的Pe啪∞廣義逆，記為A+；把滿足A烈=A的矩陣X叫A

4、的(1}—廣義逆，記為A一．由定義l可知，(AA一)2=(AA一)(AA一)=(AA—A)A一=AA一，(A—A)2=(A—A)(A—A)=A一(AA—A)=A—A，于是AA。，A—A都是冪等矩陣．由于矩陣A的Pe舯se廣義逆一定是A的Il卜一廣義逆，因而AA+，A+A也都是冪等矩陣．收稿日期：20∞-o弦12作者簡介：吳險峰(19r70．)，女．黑龍江齊齊哈爾人，副教授．硬士．從事李代敷研究．萬方數(shù)據(jù)挖高師理科學(xué)刊第29卷定理2設(shè)A∈肼～(，)'舳k(A)=r，A的滿秩分解為A=衄，其中JL是脅×，的列滿秩

5、矩陣，R是，×^的行滿秩矩陣，則以rD_1r與足‘(艘’)-1足都是冪喜瓢陣．證明因為A的滿秩分解為A=衄，所以A+=R‘(艘’)．1(rD-1r，于是AA+=(衄)露’(艘。)一·(rL)一1r=以rD一1r，A+A=足‘(艘’)．1(rL)_1r(飲)=足‘(艘。)-1足，而AA+，A+A都是冪等矩陣，因此L(rD_1r與足’(艘‘)．1足都是冪等矩陣．證畢．roo2、ro2、，，8—2421訛肚㈦護一A_脒瞄占舌o)一明。1肚啦÷孫lrllo、R‘(艘’)-1足={lloI都是冪等矩陣．zIoo2J3利

6、用冪等變換的矩陣構(gòu)造引理1設(shè)y是域F上n維線性空間，仃∈EndⅣ)，仃是冪等變換的充分必要條件是：仃關(guān)于y的任一基的矩陣都是冪等矩陣．利用線性變換的矩陣和冪等矩陣、冪等變換的定義即可證明，證明略去．引理∥設(shè)y是域F上線性空間，盯∈EndⅣ)，仃是冪等變換的充分必要條件是：仃是投影變換．由引理l及引理2可知，對于n(>0)維線性空間y，先任作y的投影變換仃，然后再取y的任意—個基，那么仃關(guān)于此基的矩陣就是冪等矩陣．這樣，冪等矩陣的構(gòu)造問題就轉(zhuǎn)化為投影變換的構(gòu)造問題，而投影變換是與直和緊密相關(guān)的．例3由于F4=L

7、(8l?！?)o“￡2，￡4)，對于任意吐=(口l，口2。Ⅱ3，口4)∈F4，規(guī)定盯似)=(nl，0，口3，0)，易知盯是F4的平行于L(￡2，s4)在L(￡1，島)上的投影，因此仃是F4的冪等變換．取F4的基口l=(1，一2，3，一4)，口2=(0'l'一l，1)，吐3=(1，3，0，1)，a4=(0，一7，3，1)，則仃關(guān)于此基的矩陣l21543214是冪等矩陣．4利用正交投影矩陣構(gòu)造定義吵1設(shè)c“是n元列空間，且c“=LoM，把滿足條件A毒={孑喜主缶的矩陣A∈M．(c)叫做c“沿子空間M到L上的投影矩

8、陣，記為PL肼．當肘=p時，A叫C“到L上的正交投影矩陣，記為吃．定理3投影矩陣是冪等矩陣．證明設(shè)矩陣PL肼∈肘．(C)是C4沿子空間肘到L上的投影矩陣，即C”=LOM，且氣肼孝={彳善主石．對于任意孝=a+∥∈c”，理∈厶∥∈M，則PL．jIf孝=吒，JIf似+戶)=PL，M扛+吒．肼∥=口+o=廈，氣塒2孝=吃．肼(氣M孝)=氣肼口=a，于是(‰2一吒．肘)孝=o，故PL朋2=吮，腳，氣M是冪等