正(余)弦函數(shù)運(yùn)算的復(fù)數(shù)與向量方法

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1、一、關(guān)鍵詞：1、向量：有大小有方向的量。又稱矢量。2、相量：用向量表示三角函數(shù)之間大小和相位的相對關(guān)系。雖然相量和向量之間有著本質(zhì)的區(qū)別，但相量的加減運(yùn)算也遵循平行四邊形法則和三角形法則。相量沒有數(shù)量積和向量積的運(yùn)算。3、歐拉公式：eα+iβ=eα（cosβ+isinβ），其中α和β為實(shí)數(shù)。這個公式將數(shù)學(xué)中最重要的5個常數(shù)（0，1，虛數(shù)單位i，圓周率π，自然對數(shù)的底數(shù)e）用簡單的加法連接，即：eiπ+1=0。二、說明：正弦（余弦）函數(shù)可表示為sin(ωt+),ω稱為角頻率，頻率f=，(ωt+)稱為相位，當(dāng)t=

2、0時的相位稱為初相位。因?yàn)閟in(x+)=cosx，因正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間只相差的相位差，故本文所有三角函數(shù)用余弦函數(shù)表示。傅立葉級數(shù)可以將任意一個函數(shù)表示成各個頻率的余弦函數(shù)之和，在工程實(shí)際中具有重要意義。本文中所有運(yùn)算的最終目的是將原式化為不同頻率余弦函數(shù)之和，故不討論不同頻率余弦函數(shù)的加減法運(yùn)算以及余弦函數(shù)的除法運(yùn)算。一、分析與解釋：（一）、復(fù)數(shù)方法：根據(jù)歐拉公式，cosx=，sinx=，可將各正余弦函數(shù)化作指數(shù)形式后進(jìn)行運(yùn)算。（二）、向量方法：1、同頻率加減法：以Acos()+Bcos()為例。圖1

3、如圖1所示，以原點(diǎn)為起點(diǎn)作一條長度為A的向量，它與橫軸正向夾角為α；再以原點(diǎn)為起點(diǎn)作長度為B的向量，它與橫軸正向夾角為β。兩個向量合成向量，它與橫軸正向夾角等于。則Acos()+Bcos()=Fcos()2、乘法以cos()×cos()為例。根據(jù)積化和差的公式：cosx·cosy=可知cos()×cos()=容易看出，兩個余弦函數(shù)的乘積等于它們相位之和的余弦值與相位之差的余弦值的平均數(shù)。