梁彎曲內(nèi)力及強(qiáng)度計算

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1、第6章梁彎曲內(nèi)力及強(qiáng)度計算§6-1彎曲切應(yīng)力梁受橫彎曲時，雖然橫截面上既有正應(yīng)力σ，又有剪應(yīng)力τ。但一般情況下，剪應(yīng)力對梁的強(qiáng)度和變形的影響屬于次要因素，因此對由剪力引起的剪應(yīng)力，不再用變形、物理和靜力關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，而是在承認(rèn)正應(yīng)力公式（6-2）仍然適用的基礎(chǔ)上，假定剪應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律，然后根據(jù)平衡條件導(dǎo)出剪應(yīng)力的計算公式。1．矩形截面梁對于圖6-5所示的矩形截面梁，橫截面上作用剪力Q?，F(xiàn)分析距中性軸z為y的橫線aa上的剪應(yīng)力1分布情況。根據(jù)剪應(yīng)力成對定理，橫線aa兩端的剪1應(yīng)力必與截面兩側(cè)邊相

2、切，即與剪力Q的方向一致。由于對稱的關(guān)系，橫線aa中點(diǎn)處的剪應(yīng)力也必與Q1的方向相同。根據(jù)這三點(diǎn)剪應(yīng)力的方向，可以設(shè)想aa線上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方向皆平行于剪力Q。又因截1面高度h大于寬度b，剪應(yīng)力的數(shù)值沿橫線aa不可1能有太大變化，可以認(rèn)為是均勻分布的?；谏鲜龇治觯勺魅缦录僭O(shè)：1）橫截面上任一點(diǎn)處的剪應(yīng)力方向均平行于剪力Q。2）剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布?；谏鲜黾俣ǖ玫降慕?，與精確解相比有足夠的精確度。從圖6-6a的橫彎梁中截出dx微段，其左右截面上的內(nèi)力如圖6-6b所示。梁的橫截面尺寸如圖6-6c所示

3、，現(xiàn)欲求距中性軸z為y的橫線aa處的剪應(yīng)力τ。1過aa用平行于中性層的縱截面aacc自111dx微段中截出一微塊（圖6-6d）。根據(jù)剪應(yīng)力成對定理，微塊的縱截面上存在均勻分布的剪應(yīng)力τ′。微塊左右側(cè)面上正應(yīng)力的合力分別為N和N，其中12My1M*N=σdA=dA=S1∫I∫zA*A*IzIz1（a）(M+dM)y1(M+dM)*N=σdA=dA=S(b)2∫II∫zA*A*IzIz**式中，A為微塊的側(cè)面面積，σ(σ)為面積A中距中性軸III*為y處的正應(yīng)力，S=ydA。1z∫1*A由微塊沿x方向的平衡

4、條件∑x=0，得?N+N?τ′bdx=0（c）12將式（a）和式（b）代入式（c），得dM*S?τ′bdx=0zIz*dMSz故τ′=dxbIzdM因=Q,τ′=τ，故求得橫截面上距中性軸為y處橫線上各點(diǎn)的剪應(yīng)力τ為dx*QSzτ=（6-3）bIz式（6-3）也適用于其它截面形式的梁。式中，Q為截面上的剪力；I為整個截面對中性軸z?*z的慣性矩；b為橫截面在所求應(yīng)力點(diǎn)處的寬度；S為面積A對中性軸的靜矩。y對于矩形截面梁（圖6-7），可取dA=bdy，于是1h2*2bh2S=ydA=bydy=(?y)z∫

5、1∫y1124A這樣，式（6-3）可寫成2Qh2τ=(?y)2I4z上式表明，沿截面高度剪應(yīng)力τ按拋物線規(guī)律變化（圖6-7b）。在截面上、下邊緣處，2hy=±,τ=0；在中性軸上，z=0，剪應(yīng)力值最大，其值為23Qτ=（6-4）max2A式中A=bh,即矩形截面梁的最大剪應(yīng)力是其平均剪應(yīng)力的3倍。22．圓形截面梁在圓形截面上（圖6-8），任一平行于中性軸的橫線aa兩端處，剪應(yīng)力的方向必切于圓周，1并相交于y軸上的c點(diǎn)。因此，橫線上各點(diǎn)剪應(yīng)力方向是變化的。但在中性軸上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方向皆平行于剪力Q，設(shè)為均

6、勻分布，其值為最大。由式（6-3）求得4Qτ=（6-5）max3Aπ2式中A=d，即圓截面的最大剪應(yīng)力為其平均剪應(yīng)力的44倍。33．工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼緣組成。式（6-3）的計算結(jié)果表明，在翼緣上剪應(yīng)力很小，在腹板上剪應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律變化，如圖6-9所示。最大剪應(yīng)力在中性軸上，其值為?Q(S)zmaxτ=maxdIZ?式中（S）為中性軸一側(cè)截面面積對中性軸的靜zmaxI矩。對于軋制的工字鋼，式中的z可以從型*(S)zmax鋼表中查得。計算結(jié)果表明，腹板承擔(dān)的剪力約為（0.95~0

7、.97）Q，因此也可用下式計算τ的近似值maxQτ≈maxhd1式中h為腹板的高度，d為腹板的寬度。13§6-2彎曲強(qiáng)度計算根據(jù)前節(jié)的分析，對細(xì)長梁進(jìn)行強(qiáng)度計算時,主要考慮彎矩的影響，因截面上的最大正應(yīng)力作用點(diǎn)處，彎曲剪應(yīng)力為零，故該點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)。為保證梁的安全，梁的最大正應(yīng)力點(diǎn)應(yīng)滿足強(qiáng)度條件Mymaxmaxσ=≤[σ]（6-6）maxIz式中[σ]為材料的許用應(yīng)力。對于等截面直梁，若材料的拉、壓強(qiáng)度相等，則最大彎矩的所在面稱為危險面，危險面上距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)稱為危險點(diǎn)。此時強(qiáng)度條件（6-6）可表達(dá)

8、為Mmaxσ=≤[σ]（6-7）maxWz式中IzW=（6-8）zymax333稱為抗彎截面系數(shù)（或抗彎截面模量），其量綱為[長度]。國際單位用m或mm。對于寬度為b、高度為h的矩形截面，抗彎截面系數(shù)為3bh212bhW==（6-9）zh26直徑為d的圓截面，抗彎截面系數(shù)為π4d364πdW==（6-10）zd322內(nèi)徑為d，外徑為D的空心圓截面，抗彎截面系數(shù)為4πD()41?α364πD4dW==()1?α，α=（6-11）zD32D2軋