轉(zhuǎn)軸公式的推導(dǎo)

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1、轉(zhuǎn)軸公式的復(fù)數(shù)法及半徑不變法推導(dǎo)張莉(機(jī)電學(xué)院01016108)指導(dǎo)教師：隋允康摘要:本文用復(fù)數(shù)法及半徑不變的兩種方法分別推導(dǎo)出平面轉(zhuǎn)軸公式。關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)方法；半徑不變法；轉(zhuǎn)軸公式1引言當(dāng)一對(duì)坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，截面對(duì)于不同坐標(biāo)軸的慣性矩或慣性積之間有一定的關(guān)系，即所謂的轉(zhuǎn)軸公式。用它可以確定截面的主慣性軸及計(jì)算軸面的主慣性矩。圖1所示任意截面圖形，在z?y坐標(biāo)系中的慣性矩I、I及慣性積I均為已知。zyyz將這一坐標(biāo)系繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α角（規(guī)定α角以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)）至z、y位11置，則該截面對(duì)于z、y這對(duì)新坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積分別為I、I和

2、I，它們11z1y1y1z1都可利用Iz，Iy和Iyz及α角來(lái)表達(dá)。2按復(fù)數(shù)法進(jìn)行推導(dǎo)如圖1，在截面上取任一微面積dA，設(shè)z軸為實(shí)數(shù)軸，y軸為虛數(shù)軸。則C=z+iy,C1=z1+iy1?iαiα由復(fù)數(shù)性質(zhì)可知C=Ce，根據(jù)歐拉公式e=cosα+isinα可得：1C=C(cosα?isinα)=(z+iy)(cosα?isinα)=zcosα+ysinα+i(ycosα?zsinα)1代入C1=z1+iy1得z=zcosα+ysinα，y=ycosα?zsinα11該截面對(duì)于坐標(biāo)軸z的慣性矩I為：1z18722I=∫ydA=∫(ycosα?zsin

3、α)dAz1A1A2222=cosα∫ydA+sinα∫zdA?2sinαcosα∫yzdA（1）AAA22=Icosα+Isinα?2Isinαcosαzyzyyyy1y1dAdAzzzy1z1zy1z111ρyyαβαzzoo圖2圖122以cosα=(1+cos2α)/2，sinα=(1?sin2α)/2代入(1)式，整理得I+II?IzyzyI=+cos2α?Isin2α（2）z122zyI+II?Izyzy同理：I=?cos2α+Isin2α（3）y122zyI?IzyI=sin2α+Icos2α（4）z1y12zy（2）（3）（4）即轉(zhuǎn)

4、軸公式。3按半徑不變法進(jìn)行推導(dǎo)如圖2所示，在截面上取任一微面積dA，設(shè)到原點(diǎn)O的距離為ρ，與坐標(biāo)軸的夾角為β。則y=ρsin(β?α)1該截面對(duì)于坐標(biāo)軸z的慣性矩I為1z1882222I=∫ydA=∫ρsin(β?α)=∫(ρsinβcosα?ρsinαcosβ)dAz1A1AA222()()()()=∫AcosαρsinβdA+∫AsinαρcosβdA?∫A2sinαcosαρsinβρcosβdA2222=cosα∫ydA+sinα∫zdA?sin2α∫yzdAAAAI+II?Izyzy=+cos2α?Isin2αzy22又z=ρcos(β

5、?α)，進(jìn)而推得：1I+II?IzyzyI=?cos2α+Isin2αy1zy22I?IzyI=sin2α+Icos2αz1y1zy2同樣得到轉(zhuǎn)軸公式。4結(jié)論無(wú)論坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)幅度多大，成正向或成反向旋轉(zhuǎn)，此推導(dǎo)過(guò)程都將成立。當(dāng)然還有更多更好的推導(dǎo)方法存在，這將有待于我們繼續(xù)研究?？茖W(xué)問(wèn)題的解決并不是唯一的，這就需要我們本著求實(shí)創(chuàng)新的精神，更加努力的去研究！致謝：在此感謝我的導(dǎo)師隋允康教授及本班材料力學(xué)課的助教，謝謝他們的指導(dǎo)與關(guān)心。（責(zé)任編輯：白海波張立新）參考文獻(xiàn)1鄭承沛.材料力學(xué).北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，1999.1289