教案用多項式逼近連續(xù)函數(shù)

《教案用多項式逼近連續(xù)函數(shù)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、教案用多項式逼近連續(xù)函數(shù)復(fù)旦大學(xué)陳紀(jì)修金路教學(xué)內(nèi)容介紹前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Korovkin關(guān)于用多項式逼近連續(xù)函數(shù)的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一種證明。指導(dǎo)思想用多項式逼近連續(xù)函數(shù)，是經(jīng)典分析學(xué)中重要的結(jié)果，以往教材中介紹的證明都比較艱深，學(xué)生難以理解。我們發(fā)現(xiàn)了前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Korovkin的一種證明，思想新穎，方法簡單，且通過對多項式逼近連續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生進(jìn)一步理解一致收斂的概念。教學(xué)安排先給出多項式一致逼近連續(xù)函數(shù)的定義：定義10.5.1設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有定義，如果存在多項式序列｛Pn(x)｝在[a,b]上一致

2、收斂于f(x)，則稱f(x)在這閉區(qū)間上可以用多項式一致逼近。應(yīng)用分析語言，“f(x)在[a,b]上可以用多項式一致逼近”可等價表述為：對任意給定的ε＞0，存在多項式P(x)，使得｜P(x)-f(x)｜＜ε對一切x∈[a,b]成立。這一定理的證法很多，我們則介紹前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Korovkin在1953年給出的證明。定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理)設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則對任意給定的ε＞0，存在多項式P(x)，使｜P(x)-f(x)｜＜ε對一切x∈[a,b]成立。證不失一般性，我們設(shè)[a,b]為[0,1]。設(shè)X是

3、[0,1]上連續(xù)函數(shù)全體構(gòu)成的集合，Y是多項式全體構(gòu)成的集合，現(xiàn)定義映射Bn:X→Ynkkkn?kf(t)SBn(f,x)=∑f()Cnx(1?x)，k=0n這里Bn(f,x)表示f∈X在映射Bn作用下的像，它是以x為變量的n次多項式，稱為Bernstein多項式。關(guān)于映射Bn，直接從定義出發(fā)，可證明它具有下述基本性質(zhì)與基本關(guān)系式：(1)Bn是線性映射，即對于任意f,g∈X及α,β∈R，成立Bn(αf+βg,x)=αBn(f,x)+βBn(g,x)；(2)Bn具有單調(diào)性，即對于任意f,g∈X，若f(t)≥g(t)（t∈[a,b]）成立，則Bn(f,x

4、)≥Bn(g,x)對一切x∈[a,b]成立；nkkn?kn(3)Bn(1,x)=∑Cnx(1?x)=[x+(1-x)]=1；k=0nnkkkn?kk?1k?1n?kBn(t,x)=∑Cnx(1?x)=x∑Cn?1x(1?x)k=0nk=1n=x[x+(1-x)]=x；nk2n2kkn?kkk?1kn?kBn(t,x)=∑2Cnx(1?x)=∑Cn?1x(1?x)k=0nk=1nnnk?1k?1kn?k1k?1kn?k=∑Cn?1x(1?x)+∑Cn?1x(1?x)k=2nk=1nnnn?12k?2k?2n?kxk?1k?1n?k=x∑Cn?2x(1?

5、x)+∑Cn?1x(1?x)nk=2nk=12n?12x2x?x=x+=x+。nnn2綜合上述三式，考慮函數(shù)(t-s)在Bn映射下的像，注意s在這里被視為常數(shù)，我們得到222Bn((t-s),x)=Bn(t,x)-2sBn(t,x)+sBn(1,x)222x?x2x?x2=x+-2sx+s=+(x-s)。nn現(xiàn)在我們來證明定理。由于函數(shù)f在[0,1]連續(xù)，所以必定有界，即存在M＞0，對于一切t∈[0,1]，成立｜f(t)｜≤M；而根據(jù)Cantor定理，f在[0,1]一致連續(xù)，于是對任意給定的ε＞0，存在δ＞0，對一切t,s∈[0,1]，當(dāng)｜t-s｜＜

6、δ時，成立ε｜f(t)-f(s)｜＜;2當(dāng)｜t-s｜≥δ時，成立2M2｜f(t)-f(s)｜≤2M≤(t-s)。2δ也就是說，對一切t,s∈[0,1],成立ε2M2ε2M2--(t-s)≤f(t)-f(s)≤+(t-s)。222δ2δ考慮上式的左端，中間，右端三式(關(guān)于t的連續(xù)函數(shù))在映射Bn作用下的像(關(guān)于x的多項式)，注意f(s)在這里被視為常數(shù)，即Bn(f(s),x)=f(s)，并根據(jù)上面性質(zhì)(1)，(2)與(3)，得到對一切x,s∈[0,1]，成立22ε2Mx?x2ε2Mx?x2--[+(x-s)]≤Bn(f,x)-f(s)≤+[+(x-s)

7、]，222δn2δn1令s=x，且注意x(1-x)≤,即得4n?k?kkn?kεM∑f??Cnx(1?x)?f(x)≤+2。k=0?n?22nδM取N=[]，當(dāng)n＞N時,2δεn?k?kkn?k∑f??Cnx(1?x)?f(x)＜εk=0?n?對一切x∈[0,1]成立。證畢定理10.5.1還可以表述為：設(shè)f在[a,b]連續(xù)，則它的Bernstein多項式序列｛Bn(f,x)｝在[a,b]上一致收斂于f。注意點(diǎn)（1）學(xué)生容易誤認(rèn)為：只要將f(x)在[a,b]上展開成冪級數(shù)∞nf(x)=∑an(x?x0),x∈[a,b]，n=0然后令其部分和函數(shù)（多項式

8、）nkSn(x)=∑ak(x?x0)，k=0則f(x)在[a,b]上就可以由多項式序列｛Sn(x)｝一致逼近