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《第五章測(cè)地曲率和測(cè)地線§51測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下省酚蓵?huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、第五章測(cè)地曲率和測(cè)地線§5.1測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下?、證明：旋轉(zhuǎn)面上緯線的測(cè)地曲率是常數(shù)，它的倒數(shù)等于在經(jīng)線的切線上從切點(diǎn)到它與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)之間的線段之長(zhǎng)。2、證明：在球面r=(acosucosv,acosusinv,asinu)pp(-≤u≤，0≤v＜2π)上，曲線的測(cè)地曲率可以表成22dqdvk=-sinu，gdsds其中θ是曲線與經(jīng)線(即u-曲線)之間的夾角。3、證明：在曲面的一般參數(shù)(u，v)下，曲線u＝u(s)，v＝v(s)的測(cè)地曲率是kg=g(Bu-Av&+u&&v&-v&u&&)2其中g(shù)＝EG
2、－F，1211222222A=G11(u&)+2G12u&v&+G22(v&),B=G11(u&)+2G12u&v&+G22(v&)，特別是，參數(shù)曲線的測(cè)地曲率分別為2313kgg=gG11()uk&&,=-Ggv22().124、假定φ是曲面S上的保長(zhǎng)變換構(gòu)成的變換群，并且保持曲面S上的一條曲線C不變。證明：如果φ限制在C上的作用是傳遞的，則曲線C的測(cè)地曲率必為常數(shù)。5、設(shè)e1，e2是曲面在一點(diǎn)的兩個(gè)彼此正交的主方向，對(duì)應(yīng)的主曲率分別為k1，k2。證明：曲面在該點(diǎn)與e1成θ角的切方向的測(cè)地?fù)下适?1dk
3、n(q)t=(k-k)sin2q=.g2122dq6、假定曲面上經(jīng)過一個(gè)雙曲點(diǎn)的兩條漸近曲線在該點(diǎn)的曲率不為零。證明：這兩條曲線在該點(diǎn)的撓率的絕對(duì)值相等、符號(hào)相反，并且這兩個(gè)撓率之積等于曲面在該點(diǎn)的Gauss曲率K(提示：利用定理4和習(xí)題5的結(jié)果)。227、證明：kn-tg-2Hkn+k=0。8、證明：任何兩個(gè)正交方向的測(cè)地?fù)下手蜑榱??！?.2測(cè)地線1、證明：柱面上的測(cè)地線必定是定傾曲線。2、設(shè)曲線C是旋轉(zhuǎn)面r(u,v)=(f(u)cosv,f(u)sinv,g(u))上的一條測(cè)地線，用q表示曲線C與經(jīng)
4、線的交角。證明：沿測(cè)地線C成立恒等式－15－f(u)×sinq=常數(shù).oo3、設(shè)在旋轉(zhuǎn)面上存在一條測(cè)地線C與經(jīng)線交成定角q，并且q10,90。證明：此旋轉(zhuǎn)面必為圓柱面。4、證明：(1)若曲面上一條曲線既是測(cè)地線，又是漸近曲線，則它必定是直線。(2)若曲面上一條曲線既是測(cè)地線，又是曲率線，則它必定是平面曲線。(3)若曲面上一條測(cè)地線是非直線的平面曲線，則它必定是曲率線。5、證明：若曲面上所有的測(cè)地線都是平面曲線，則該曲面必是全臍點(diǎn)曲面。6、已知曲面的第一基本形式如下，求曲面上的測(cè)地線：22(1)I=v(du
5、+dv)；2a22(2)I=(du+dv)。2v7、證明：若在曲面上存在兩族測(cè)地線，它們彼此交成定角，則該曲面必是可展曲面。8、證明：曲面上的測(cè)地線的撓率恰是曲面沿曲線的切方向的測(cè)地?fù)下省?、假定曲面S1和S2沿曲線C相切，證明：若C是S1上的測(cè)地線，則C也必定是S2上的測(cè)地線。如果C是S1上的曲率線或漸近曲線，又如何？§5.3測(cè)地坐標(biāo)系22Ga1、設(shè)曲面的第一基本形式為I=du+G(u,v)dv，求bg及Gauss曲率K。222、設(shè)曲面的第一基本形式為I=du+G(u,v)dv，并且G(u,v)滿足條件
6、G(0,v)=1，Gu(0,v)=0。22證明：G(u,v)=1－uK(0,v)+0(u)。3、設(shè)曲面上以點(diǎn)P為中心，以r為半徑的測(cè)地圓的周長(zhǎng)為L(zhǎng)r，所圍的面積是Ar，證明：點(diǎn)P處的Gauss曲率是32pr-LrK0=lim×3r?0pr212pr-Ar=lim×p4r?0r§5.4常曲率曲面1、試在測(cè)地極坐標(biāo)系下寫出常曲率曲面的第一基本形式。2、證明：在常曲率曲面上，以點(diǎn)P為中心的測(cè)地圓具有常測(cè)地曲率。3、已知常曲率曲面的第一基本形式是ì2122du+>sin(Ku)dvK,0,??KI=í?du2-1
7、sh22(-8、應(yīng)。24y16、第一基本形式如下的曲面都具有常數(shù)Gauss曲率-。試求它們之間的保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)：2a2a22(1)I=(du+dv)(v＞0)2v2u2a2(2)I=du+edv；22u2(3)I=du+chdv。a§5.5曲面上向量場(chǎng)的平行移動(dòng)aaa12?xay1、證明：若x=x(u,u)是偏微分方程組=-Gbgx的非零解，則(i)b?uf=gxaxba1212ab是非零常數(shù)；(ii)X=x(u,u)×ra(u,u)是曲面上的切向
