高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)

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1、1.3高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)一、高階偏導(dǎo)數(shù)的定義二、求高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)三、高階微分四、小結(jié)1湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院回顧：高階導(dǎo)數(shù)的定義定義記作二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),2湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).3湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院由于函數(shù)展開后的最高次冪項為所以例1已知函數(shù)解4湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).一、高階偏導(dǎo)數(shù)的定義5湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院解6湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院原函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形

2、觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：7湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院解問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？8湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院解例49湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院按定義可知：10湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？解11湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院因此所以12湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例6解1.直接法:根據(jù)定義逐步求高階(偏)導(dǎo)數(shù).二、求高階導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)13湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院萊布尼茲公式2.高階導(dǎo)數(shù)的運算法則:14湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院解例715湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院解例816湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與

3、計算科學(xué)學(xué)院常用高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過四則運算,變量代換等方法,求出n階導(dǎo)數(shù).3.間接法:17湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院解例918湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院解例1019湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院已知函數(shù)y=f(x)，則它的微分為三、高階微分亦可稱為一階微分；類似地，二階微分定義為記作20湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院一般的，已知函數(shù)y=f(x)，則它的n-1階微分為則n階微分定義為記作由此可得21湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院注(1)(2)求n階微分實質(zhì)上就是求n階導(dǎo)數(shù).解22湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院(3)求高階微分時：若x是自變量，則由于d

4、x是不依賴于x的任意的數(shù)，故關(guān)于x微分時，必須視dx為常數(shù)因子.若x不是自變量，而是某一變量的函數(shù)，如23湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院而x是自變量時，有結(jié)論：高階微分不具有形式不變性.24湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院再求二階微分,可得由此可見，上述兩種結(jié)果并不相等.25湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院一般來說，求復(fù)合函數(shù)的高階微分，以逐階求之為宜.解故26湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院注上例的分析過程表明，求復(fù)合函數(shù)的高階微分，也可先把中間變量消去后，再求高階導(dǎo)數(shù)可得．27湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院1、高階偏導(dǎo)數(shù)的定義;2、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則(萊布尼茲公式);3、n階

5、導(dǎo)數(shù)的求法;(1)直接法;(2)間接法.4、高階微分不具有形式不變性.四、小結(jié)28湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院思考題：證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程證29湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院利用對稱性,有所以30湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院作業(yè)習(xí)題1.3P35A組1(1)、(3)、(5)，2B組431湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院