垂直關(guān)系的證明

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1、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)一、知識(shí)梳理(2)兩直線垂直的判定①定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.②一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b∥c,a⊥b,則a⊥c③一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.即若a⊥α,bα，a⊥b.④三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.⑤如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即若a∥α,b⊥α,則a⊥b.⑥三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=

2、a,β∩γ=b,γ∩α=c，則a⊥b,b⊥c,c⊥a.(4)直線與平面垂直的判定①定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直.②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,則l⊥α.③如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,則l⊥α.④一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若α∥β,l⊥β，則l⊥α.⑤如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于

3、另一個(gè)平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,則l⊥α.⑥如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,則a⊥γ.(6)兩平面垂直的判定①定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.②如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l⊥β,lα，則α⊥β.③一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).即若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ.二、典例精析考點(diǎn)一：線面垂直的判定及性質(zhì)例1：如圖所示，AB為⊙

4、O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AP⊥面ABC，AE⊥BP于E，AF⊥CP于F.求證：BP⊥平面AEF(2009·北京)如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2,AC=.求證：AO⊥平面BCD.考點(diǎn)二：面面垂直的判定及性質(zhì)例2：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G為AD邊的中點(diǎn).（1）求證：BG⊥平面PAD（2）求證：AD⊥PB（3）若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找一點(diǎn)F,使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你

5、的結(jié)論.即時(shí)訓(xùn)練在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，AB=AC,側(cè)面⊥底面ABC.（1）若D是BC的中點(diǎn)，求證：AD⊥（2）過側(cè)面的對(duì)角線的平面交側(cè)棱于M，若AM=,求證：截面⊥側(cè)面.考點(diǎn)三：平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)．如圖2，將△ABE沿AE折起，使二面角B－AE－C成直二面角，連結(jié)BC，BD，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn)．(1)求證：AE⊥BD；(2)求證：平面PEF⊥平面AECD；(3)判斷DE能否垂直于平面ABC，并說明理由．2、如圖所示，直三棱

6、柱—中，=，⊥，M、N分別是、AB的中點(diǎn)．(1)求證：⊥平面；(2)求證：⊥AM；(3)求證：平面∥平面；(4)求與所成的角3、如圖①，長(zhǎng)方形ABCD中，BC＝，AB＝6，把它折成正三棱柱的側(cè)面(如圖②)，使AD與BC重合，長(zhǎng)方形的對(duì)角線AC與折痕線EF、GH分別交于M、N，連結(jié)AN.(1)求多面體AMND的體積；(2)求證：平面DMN⊥側(cè)面ADFE.三、模擬演練1．(2010年寧波十校聯(lián)考)設(shè)b、c表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，則下列命題是真命題的是________．①若b?α，c∥α，則b∥c?、谌鬮?α，b∥c，則c∥α③若c∥

7、α，α⊥β，則c⊥β④若c∥α，c⊥β，則α⊥β解析：①中，b，c亦可能異面；②中，也可能是c?α；③中，c與β的關(guān)系還可能是斜交、平行或c?β；④中，由面面垂直的判定定理可知正確．答案：④2．(2010年青島質(zhì)檢)已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，下面有三個(gè)命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β.則真命題的個(gè)數(shù)為________．解析：對(duì)于①，由直線l⊥平面α，α∥β，得l⊥β，又直線m?平面β，故l⊥m，故①正確；對(duì)于②，由條件不一定得到l∥m，還有l(wèi)與m垂直和異面的情況，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，顯然正確．故正確命題的

8、個(gè)數(shù)為2.答案：2個(gè)3．(2009年高考山東卷改編)已知α、β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的________條件．解析：由平面與平面垂直的判定定理知如果