函數(shù)概念是怎樣被理解的

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1、函數(shù)概念是怎樣被理解的王新民作者簡(jiǎn)介：王新民（1962—），男，漢族，甘肅敦煌人，副教授，主要從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)文化研究．（內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院）王富英(成都市龍泉驛區(qū)教育研究培訓(xùn)中心)李春燕（四川省成都經(jīng)開(kāi)區(qū)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)）摘要：從學(xué)習(xí)者的視角，通過(guò)對(duì)以學(xué)案為載體、以學(xué)生講解為主要學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的教學(xué)案例的分析，揭示初中學(xué)生理解函數(shù)概念的認(rèn)知過(guò)程：個(gè)別的看、重復(fù)的看、想象的看、一般的看和應(yīng)用的看．其中，在“個(gè)別的看”中形成“一般的看”的態(tài)度；在“重復(fù)的看”中概括“共同性印象”；在“想象的看”中超越經(jīng)驗(yàn)事例

2、；在“一般的看”中形成函數(shù)定義；在“應(yīng)用的看”將函數(shù)定義內(nèi)化為一種心理實(shí)體．它們構(gòu)成了函數(shù)概念形成過(guò)程中的認(rèn)知連續(xù)體，每一個(gè)階段都是不可或缺的，前一個(gè)階段是后一個(gè)階段的基礎(chǔ)，而后一個(gè)階段是對(duì)前一個(gè)階段的超越．關(guān)鍵詞：函數(shù)概念；理解；學(xué)案設(shè)計(jì)；認(rèn)知分析1問(wèn)題提出函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最為核心的概念，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最難以理解的概念之一。長(zhǎng)期以來(lái)，為了突破這一教學(xué)難點(diǎn)，理論研究者與一線教師可以說(shuō)是煞費(fèi)苦心，想盡了辦法，可是效果總是差強(qiáng)人意。有調(diào)查顯示[1]：（1）初三學(xué)生并不用“一個(gè)x對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)y”來(lái)判斷某種對(duì)應(yīng)關(guān)

3、系是否為函數(shù)；（2）高一學(xué)生在對(duì)利用定義判斷圖像所反映的y和x的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系這個(gè)問(wèn)題時(shí)，只有21%的學(xué)生做出了正確的回答。在另一項(xiàng)調(diào)查中發(fā)現(xiàn)[2]：高二與高三的學(xué)生對(duì)函數(shù)的定義實(shí)質(zhì)大多模糊不清；對(duì)于問(wèn)題“y=±2x是否是函數(shù)”及“方程y2=4x的曲線是否為函數(shù)的圖像”，有過(guò)半的學(xué)生或答錯(cuò)或不置可否。然而，類似的問(wèn)題卻在一節(jié)初中函數(shù)概念學(xué)習(xí)的起始課上，由初二的學(xué)生給出了精彩的解答。請(qǐng)看下面所展示的課堂學(xué)習(xí)中學(xué)生講解的片段。學(xué)案設(shè)計(jì)：①下面這個(gè)表格是否表示y是x的函數(shù)？為什么？x2345y±2±3yxO±4

4、±5②下面這個(gè)圖象是否表示y是x的函數(shù)？為什么？③等式是否表示y是x的函數(shù)？為什么？④上面三個(gè)問(wèn)題，如果不是函數(shù)，分別如何改正，才能使得y是x的函數(shù)？學(xué)生講解（講解的學(xué)生來(lái)自于不同的學(xué)習(xí)小組，“生1”表示的是第1小組的學(xué)生，其它類同）：生4：第①題中的表格是否表示y是x的函數(shù)？我們小組認(rèn)為這道題中，y不是x的函數(shù)，因?yàn)槊拷o定一個(gè)x的值，相應(yīng)的就確定了兩個(gè)y的值，如，x=2時(shí)，y的值為2和-2，不符合“結(jié)果只能是唯一的”，所以y不是x的函數(shù)。生5：請(qǐng)同學(xué)們看第②題，這個(gè)圖象是否表示y是x的函數(shù)？我們的答案是否定

5、的。將這個(gè)圓沿垂直x軸方向切一刀（生5在黑板上形象的劃了“一刀”），這條直線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而這兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)兩個(gè)y值，所以y不是x的函數(shù)。生6：請(qǐng)大家看第③題，這道題中，y不是x的函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，y=0，此時(shí)一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)y值0；但是，當(dāng)x取任意一個(gè)非零實(shí)數(shù)時(shí)，x值都對(duì)應(yīng)了兩個(gè)互為相反數(shù)的y值，所以y不是x的函數(shù)。生7：我們先來(lái)看第①題和第③題是如何修改的。根據(jù)函數(shù)的定義我們知道給定一個(gè)x的值，只能對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)y值，所以在第①題的表格中，我們只需要去掉表格中的“+”或“－”，

6、那么y就是x的函數(shù)了；第③題也可以直接去掉等式中的“+”或“－”，y就是x的函數(shù)了。下面我們來(lái)看看第②題如何修改。我們擦去上半圓或下半圓，那么剩下的圖像上每個(gè)點(diǎn)都只對(duì)應(yīng)著一個(gè)y值了，那么y就是x的函數(shù)了（她邊說(shuō)邊在黑板上做著修改）。生1：我把第①題的表格中所有的y值都改成1（他邊說(shuō)邊上臺(tái)用粉筆修改，此時(shí)，教室里開(kāi)始嘰嘰喳喳的小聲議論起來(lái)了較多有的人說(shuō)不對(duì)，有幾個(gè)人說(shuō)對(duì)）。定義里說(shuō)的是給定一個(gè)x的值，只能對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)y值，這里每個(gè)x的值，都只對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)y值。生1*（第一組的另一個(gè)學(xué)生）：對(duì)于第②題，我們組

7、是擦去左半圓或右半圓（她話剛一說(shuō)完，全班嘩然，包括她身邊的同學(xué)都在說(shuō)她?。?。生7*：我們認(rèn)為第1組的修改是錯(cuò)的。因?yàn)槭Ｏ碌哪莻€(gè)半圓的兩個(gè)端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的x值是相同的，但是它們所對(duì)應(yīng)的y值卻是不同的兩個(gè)值。我們可以過(guò)圓心作x軸和y軸的垂線，將圓平均分成四份，然后任意擦去3份，剩下的圖像就表示y是x的函數(shù)了。生10：第七組的同學(xué)的確講得很好，我們組也有一種不同的修改，在第七組同學(xué)的基礎(chǔ)上，我們擦去上半圓的右半部分和下半圓的左半部分，再擦去上半圓的最高點(diǎn)，剩下的圖像就可以表示y是x的函數(shù)了（一邊說(shuō)，一邊在黑板上畫(huà)出圖形

8、，同學(xué)們一目了然）。面對(duì)好多高中學(xué)生都不能解答的問(wèn)題，這些剛剛接觸函數(shù)概念的初中學(xué)生的講解，不能不說(shuō)是特別的精彩！在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，既沒(méi)有可供模仿的例題，也沒(méi)有進(jìn)行相關(guān)的針對(duì)性訓(xùn)練，因此，有理由說(shuō)，學(xué)生的這些精彩表現(xiàn)只能來(lái)自于他們對(duì)函數(shù)概念深刻的理解。那么，函數(shù)概念是如何被學(xué)生理解的？以下將從學(xué)習(xí)者的視角，通過(guò)對(duì)以學(xué)案為載體、以學(xué)生講解為主要學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的教學(xué)案例的分析，揭示初中學(xué)生理解函數(shù)概念的認(rèn)知過(guò)程