晶體學(xué)基礎(chǔ)鄭啟泰講稿清華

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1、幾何晶體學(xué)基礎(chǔ)呂揚(yáng)　鄭啟泰中國(guó)醫(yī)學(xué)科學(xué)院藥物研究所國(guó)家藥物及代謝產(chǎn)物分析研究中心2005年9月20日目錄一圖形移置二圖形對(duì)稱三晶體中的對(duì)稱元素1晶體與非晶體2晶體的特征對(duì)稱元素3晶體的宏觀對(duì)稱元素4晶體的微觀對(duì)稱元素四有限圖形與無(wú)限圖形的對(duì)稱元素組合定理1概述2基本組合定理3對(duì)稱群及其表示(幾何學(xué)，代數(shù)學(xué))五32點(diǎn)群與47單形六14平移群與14平移點(diǎn)陣七230空間群八結(jié)語(yǔ)一、圖形移置移置系指研究相等圖形之間的相互位置的問(wèn)題。如果相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)相等圖形有相同的定向，則稱迭合相等；如果相互關(guān)聯(lián)的兩相等圖形有相反定向，則稱對(duì)映相等。

2、在三維空間的幾何圖形移置總共含有以下八種類型：1平面反映若移置圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線垂直于平面并被平分，且互為對(duì)映鏡像，稱為平面反映移置，由它聯(lián)系的兩個(gè)圖形互為對(duì)映相等(圖)，此類移置稱為第二類移置。如圖中的定向四面體：2點(diǎn)反射(倒反)被移置圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被一點(diǎn)(反射點(diǎn))平分，二圖形互呈對(duì)映鏡像(圖)，為第二類移置。3旋轉(zhuǎn)相等圖形(A與A′)中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線垂直于旋轉(zhuǎn)軸(N)且與軸呈相等距離，處于同一平面內(nèi)，稱為第一類移置。呈迭合相等圖形。4.1旋轉(zhuǎn)反映圖形移置包含兩個(gè)步驟：先進(jìn)行以N為軸的旋轉(zhuǎn)(2?/N)，然后再以垂直于N軸的平面進(jìn)

3、行反映(圖)，該移置稱為旋轉(zhuǎn)反映。由此關(guān)聯(lián)的圖形呈對(duì)映相等，屬第二類移置。4.2旋轉(zhuǎn)反射圖形移置包括兩個(gè)步驟，先進(jìn)行以N為軸的旋轉(zhuǎn)(2?/N)，然后再以軸上的一點(diǎn)倒反(圖)，該移置稱為旋轉(zhuǎn)反射。由此關(guān)聯(lián)的圖形呈對(duì)映相等，屬第二類移置。且所有連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段均被倒反中心平分。5平移圖形從起始位置按給定周期移置，該移置稱為平移，相關(guān)聯(lián)的圖形為疊合相等，屬第一類移置。6滑移反映移置含有兩個(gè)步驟:圖形先經(jīng)平面反映，相繼進(jìn)行平行于平面的平移，該移置稱為滑移反映移置。相等圖形互呈對(duì)映相等，屬第二類移置。7螺旋旋轉(zhuǎn)包含兩個(gè)移置步驟：先繞N軸旋

4、轉(zhuǎn)2?/N，然后在沿N軸方向平移t/N(t為整數(shù)，等于(N-1)/N)，該移置稱為螺旋旋轉(zhuǎn)移置，相關(guān)的圖形為疊合相等，屬第一類移置。8恒等(不動(dòng))移置為繞N軸旋轉(zhuǎn)2?(即不動(dòng))的移置。顯見(jiàn)為第一類移置。第一類移置：包含平移，旋轉(zhuǎn)(含恒等)，螺旋旋轉(zhuǎn)，圖形為迭合相等；第二類移置：倒反，平面反映，旋轉(zhuǎn)反映，旋轉(zhuǎn)反射，滑移反映，圖形為對(duì)映相等。二圖形的對(duì)稱1圖形的對(duì)稱特征任何一個(gè)對(duì)稱圖形可分為若干個(gè)相等部分；而且在圖形移置中包含有至少一個(gè)不動(dòng)的幾何元素(點(diǎn)、線、面)。則對(duì)應(yīng)的幾何元素定義為：倒反(對(duì)稱中心)、對(duì)稱面(反映面)、對(duì)稱軸、

5、反軸、平移、螺旋軸、滑移面共七類。2對(duì)稱是圖形移置的特例系指移置后的圖形是其自身重復(fù)。對(duì)稱是圖形移置的特例。雖然上述描述僅僅是從幾何學(xué)入手的一種方法，但具有直觀、形象、幾何關(guān)系清晰等特點(diǎn)。如果把實(shí)現(xiàn)圖形對(duì)稱變換過(guò)程中不動(dòng)幾何元素視為基本元(要)素，那么這些對(duì)稱元素就能組合成一定的集合－群。對(duì)稱是物質(zhì)世界的基本幾何屬性，它是在一定的測(cè)量精度范圍內(nèi)的一種相對(duì)規(guī)律。比如平移對(duì)稱元素就是這一相對(duì)規(guī)律的最好例證。晶體對(duì)稱性是在晶體這種特定的物質(zhì)圖形上的具體反映。這是從幾何學(xué)角度認(rèn)識(shí)圖形對(duì)稱性質(zhì)的方法。若一個(gè)圖形可分為若干個(gè)相等部分，經(jīng)移置

6、后能自身重復(fù)，同時(shí)圖形中含有不動(dòng)的幾何元素(點(diǎn)、線、面)，則稱該圖形具有對(duì)稱性。不動(dòng)的幾何元素就稱為對(duì)稱元素。在傳統(tǒng)的幾何晶體中可概括為：對(duì)稱軸N、對(duì)稱面m、反軸-N、對(duì)稱中心-1、平移T、螺旋軸Nt與滑移面mt，字母所示為相應(yīng)的國(guó)際通用符號(hào)。3.1對(duì)稱操作如圖所示(正三角形、正方形)幾何圖形經(jīng)過(guò)某一對(duì)稱元素操作后，圖形自身重復(fù)，此操作稱為對(duì)稱操作。在完成幾何圖形的對(duì)稱操作過(guò)程中，圖形中任意兩點(diǎn)間的距離不變。如果幾何圖形在移置中至少有一點(diǎn)不動(dòng)，則稱為點(diǎn)操作；否則稱為空間對(duì)稱操作。3對(duì)稱操作與對(duì)稱變換3.2對(duì)稱變換如果將圖形抽象為

7、一個(gè)幾何點(diǎn)，并且引入一個(gè)參考系(坐標(biāo)系)，使坐標(biāo)軸(系)與對(duì)稱元素形成一定的聯(lián)系。如包含3(或6)次軸的坐標(biāo)系，要求3(或6)次軸平行于坐標(biāo)系的Z軸。此時(shí)一個(gè)幾何圖形的對(duì)稱操作(幾何學(xué))就表現(xiàn)為在OXYZ坐標(biāo)系中，諸點(diǎn)間(A→A′→A′′→A′′′)的變換，這一變換的特點(diǎn)不是以圖形表示而是以他們?cè)谧鴺?biāo)系中的點(diǎn)位置(xyz)，(x′y′z′)來(lái)形成一個(gè)點(diǎn)系，并以符號(hào)的形式記錄下這一對(duì)稱操作過(guò)程，稱之為對(duì)稱變換。它是實(shí)正交變換中的一個(gè)重要內(nèi)容。相應(yīng)于圖形(晶體)對(duì)稱操作的點(diǎn)系對(duì)稱變換是掌握實(shí)正交變換的一個(gè)經(jīng)典實(shí)例。三晶體中的對(duì)稱元素

8、1晶體與非晶體自然界中的各種元素以及由它們形成的各類化合物，通常以三種聚集態(tài)出現(xiàn)：固態(tài)、液態(tài)、氣態(tài)。以固態(tài)形式存在的物質(zhì)是由原子(或離子、分子)在三維空間的堆積形成。如果原子(或離子、分子)是按照一種確定的方式在三維空間做嚴(yán)格的周期性的排列，即相隔一定的距離(即