關(guān)于導(dǎo)數(shù)在研究初等函數(shù)及其他領(lǐng)域的應(yīng)用

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1、導(dǎo)數(shù)在研究初等函數(shù)及其他領(lǐng)域的應(yīng)用（伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院新疆伊寧835000）摘要：在當(dāng)今數(shù)學(xué)分析的諸多方面，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個強有力工具，也是研究其他領(lǐng)域的重要的相關(guān)知識，也是歷年高考題中的重要考點。下面我將圍繞導(dǎo)數(shù)在初等函數(shù)及其他領(lǐng)域的應(yīng)用和在高考高考中的應(yīng)用做一剖析。關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)初等函數(shù)高考例題研究一、導(dǎo)數(shù)的定義：若函數(shù)y=f(x)在的的領(lǐng)域內(nèi)有定義，且極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在處可導(dǎo)，且記為或例1、設(shè)函數(shù)f(x)對任何實數(shù),滿足，且求f(x)解：在式中令得。因，對即，積分：由f(0)=1知C=0，二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)

2、數(shù)在幾何上表示曲線y=f(x)在點M處的切線的斜率，即，為切線與X軸正向的夾角。三、導(dǎo)數(shù)在初等函數(shù)上的應(yīng)用：這類題一般考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、公切線方程的表示法、求導(dǎo)法則以及方程的相關(guān)知識。1.1利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)切線關(guān)系解題例1設(shè)，是曲線與曲線的一個公共點，在這個公共點處兩曲線有相同的切線，試用表示a,b,c.解：設(shè)過點p(t,0)的公切線為L,則L的方程有兩種表達方式：，.且..、變?yōu)楹?于是解得故1.2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性這類題主要考查導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、分類討論的思想方法。定理：設(shè)函數(shù)y=f(x)在（a、b）內(nèi)可導(dǎo)，則（1）如果在（a，b）內(nèi)f

3、（'x）＞0，那么函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)增加；（2）如果在（a，b）內(nèi)f（'x）＜0，那么函數(shù)y=f(x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)減少。例1、研究函數(shù)的單調(diào)性。解：當(dāng)>0時，由從上表中的符號隨x取值的變化規(guī)律發(fā)現(xiàn)，此時f(x)的單增區(qū)間是和，單減區(qū)間是和.當(dāng)a=0時，此時f(x)的定義域為因此在內(nèi)單增。當(dāng)a<0時，>0，f(x)定義域為此時單增區(qū)間是沒有單減區(qū)間。例2、確定函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間。解函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得=，令=0，得=1，=—1；用以上兩點把定義域分成小區(qū)間，列表考察個區(qū)間內(nèi)的符號。所以，函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為（-1，0）和（1

4、，+∞），單調(diào)減少區(qū)間為（-∞，-1）和（0，1）。例3、設(shè)恰有3個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。解：(1)當(dāng)a>0時，>0恒成立，在R上是增函數(shù)，不和題意。（2）當(dāng)a=0時，恒成立，在R上是增函數(shù)，不合題意。(3)當(dāng)a<0時，令，即解得即令即，解得即或所以，時，遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為和1.3利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值例1、求函數(shù)的極大值、極小值。解：令得.解得列表如下：即由上表可知x=1時，有極大值0，當(dāng)x=3時，有極小值-281.4利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟為：（1）求出f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)的

5、所有駐點，導(dǎo)數(shù)不存在的點，并計算個點的函數(shù)值；（2）求出端點處的函數(shù)值f(a)和f(b)（3）比較以上所有函數(shù)值，其中最大的就是函數(shù)在[a,b]上的最大值，最小的就是函數(shù)在[a,b]上的最小值。例1、求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，最小值。解：令即解得，X變化時，的變化如下表：由表可知最大值是，最小值是1.5利用導(dǎo)數(shù)定義求初等函數(shù)的導(dǎo)例1、求函數(shù)f（x）=的導(dǎo)數(shù)。解即用類似的方法，可求得1.6導(dǎo)數(shù)在研究不等式中的應(yīng)用例1：證明不等式.證明：令則當(dāng)時，在上是增函數(shù)，又在處連續(xù)，恒成立，原不等式得證。1.7導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用例1、二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0,10）導(dǎo)函數(shù)當(dāng)時，的函數(shù)

6、值為整數(shù)的個數(shù)記為了，求數(shù)列的通向公式。解：設(shè)圖象經(jīng)過點（0,10）又當(dāng)時，的函數(shù)值為正數(shù)的個數(shù)是.當(dāng)n=1時，f(x)在（1,2）的值域是[4,6]，當(dāng)n=2時，f(x)在（2,3)的值域是.時，遞增.當(dāng)n≥3時，f(x)在遞增，值域為綜上，所得1.8導(dǎo)數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用例1、求拋物線上的點到直線的最短距離。解：由題意可知，與直線平行的拋物線的切線對應(yīng)的切點到直線的距離最短，設(shè)切點坐標(biāo)為則得切點坐標(biāo)為切點到直線的距離為拋物線上的點到直線的最短距離為1.9導(dǎo)數(shù)在求參數(shù)取值范圍中的應(yīng)用例1、已知在（1,4）內(nèi)為減函數(shù)，在上位增函數(shù)，求a的取值范圍。解：，令得：或當(dāng)，

7、即時，在為增函數(shù)，不合題意。當(dāng)，即時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。，的取值范圍是[5,7]1.10利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)點上的切線方程例1、求函數(shù)過點（1,2）作其切線，求切線的方程。解：當(dāng)時，過點（1,2）的切線方程為.即y=5x-3函數(shù)過點（1,2）的切線方程為y=5x-31.11應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明三角恒等式例1、求證：.證明：設(shè)函數(shù)則所以，，取x=0,有，所以c=0即f(0)=0,所以，得證。四、導(dǎo)數(shù)在高考中的的應(yīng)用通過對近年高考中導(dǎo)數(shù)試題的剖析,得出導(dǎo)數(shù)命題的三個突出特征:全面考查基本概念和方法;注重知識點的交叉命題;融匯數(shù)學(xué)思想,加大試題區(qū)分度。把握