二次函數(shù)壓軸題專題

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1、二次函數(shù)壓軸題專題26.（2014?益陽，第20題，10分）如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y=a（x﹣2）2+k經(jīng)過點(diǎn)A、B，并與X軸交于另一點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P．（1）求a，k的值；（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在拋物線及其對(duì)稱軸上分別取點(diǎn)M、N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，求此正方形的邊長．（第3題圖）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）先求出直線y=﹣3x+3與x軸交點(diǎn)A，與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a（x﹣2）2+k，得到關(guān)于a，k的二元一次方程組，解方程組

2、即可求解；（2）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，m），對(duì)稱軸x=2交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE垂直于直線x=2于點(diǎn)E．在Rt△AQF與Rt△BQE中，用勾股定理分別表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3﹣m）2，解方程求出m=2，即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，由NC與AC不垂直，得出AC為正方形的對(duì)角線，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性及正方形的性質(zhì)，得到M點(diǎn)與頂點(diǎn)P（2，﹣1）重合，N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，此時(shí)，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，則四邊形AMCN為正方形，在Rt△AFN中根據(jù)勾股

3、定理即可求出正方形的邊長．解答：解：（1）∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，∴A（1，0），B（0，3）．又∵拋物線拋物線y=a（x﹣2）2+k經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（0，3），∴，解得，故a，k的值分別為1，﹣1；（2）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，m），對(duì)稱軸x=2交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE垂直于直線x=2于點(diǎn)E．在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，∵AQ=BQ，∴1+m2=4+（3﹣m）2，∴m=2，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）；（3）當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí)，NC與AC不垂直，所以AC應(yīng)為正方形的對(duì)角

4、線．又∵對(duì)稱軸x=2是AC的中垂線，∴M點(diǎn)與頂點(diǎn)P（2，﹣1）重合，N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，1）．此時(shí)，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，∴四邊形AMCN為正方形．在Rt△AFN中，AN==，即正方形的邊長為．34.（2014?德州，第24題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)

5、D，過點(diǎn)D作y軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）根據(jù)A的坐標(biāo)，即可求得OA的長，則B、C的坐標(biāo)即可求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）分點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，和C的直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)OA=OC，即可列方程求解；（3）據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點(diǎn)，則DF=OC，即可求得P的縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式，即可求得橫坐標(biāo)，得到P的坐標(biāo)．解答：解：（1）由A（4，0），可知OA=4，∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1，∴C

6、（0，4），B（﹣1，0）．設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+x，則，解得：，則拋物線的解析式是：y=﹣x2+3x+4；（2）存在．第一種情況，當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作CP1⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P1．過點(diǎn)P1作y軸的垂線，垂足是M．∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），則m=﹣m2+3m+4﹣4，解得：m1=0（舍去），m2=2．∴﹣m2+3m+4=6，即P（2，6）．第二種情況，當(dāng)點(diǎn)A為

7、直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AP2，AC交拋物線于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點(diǎn)F．∴P2N∥x軸，由∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FP2N=45°，AO=OF．∴P2N=NF，設(shè)P2（n，﹣n2+3n+4），則n=（﹣n2+3n+4）﹣1，解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），∴﹣n2+3n+4=﹣6，則P2的坐標(biāo)是（﹣2，﹣6）．綜上所述，P的坐標(biāo)是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．根據(jù)垂線段最