孫旭東--解析幾何

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1、2012蘇省數(shù)學(xué)夏令營競賽講座解析幾何一、知識要點和基本方法1．直線系方程：共點直線系、平行直線系．2．圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程（θ為參數(shù)）．3．圓的切線、弦、切線方程、切點弦方程、公共弦方程．4．過交點的圓錐曲線系：．5．焦半徑和焦點弦的兩種形式．6．已知切點的切線方程：橢圓、雙曲線、拋物線在點P(x0，y0)處的切線方程為、，。二、例題選講例1平面上整點（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點）到直線y＝x＋的距離中的最小值是()(A)(B)(C)(D)例2若直線系C：xcost＋(y＋1)sint＝2中的三條直線圍成正三角形區(qū)域D，則區(qū)

2、域D的面積為．例3在平面直角坐標(biāo)系中，點集M＝{(x，y

3、α，β∈R)}．求點集M所覆蓋的平面圖形的面積．例4關(guān)于x、y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0．（1）當(dāng)m為何值時，方程C表示圓；（2）若圓C與直線l：x＋2y－4＝0相交于M、N兩點，且

4、MN

5、＝，求m的值；（3）若圓C與直線l：x＋2y－4＝0相交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為原點），求此時m的值．例5如圖，P是拋物線y2＝2x上的動點，點B，C在y軸上，圓(x－1)2＋y2＝1內(nèi)切于△PBC，求△PBC面積的最小值．第5頁共5頁2012蘇省數(shù)學(xué)夏令營競賽講座例6（1）

6、給定A（－2，2），已知B是橢圓＋＝1上的動點，F(xiàn)是左焦點，當(dāng)

7、AB

8、＋

9、BF

10、取最小值時，求B的坐標(biāo)．（2）給定A（－2，2），已知B是橢圓＋＝1上的動點，F(xiàn)是左焦點，求

11、AB

12、＋

13、BF

14、的最小值和最大值．例7（1）已知拋物線C：y2＝2px．AB為過拋物線焦點F的弦，O為坐標(biāo)原點，M為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點．若∠OFA＝120°，求tan∠AMB．（2）點F為拋物線y2＝2px的焦點，過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，l1，l2分別是該拋物線在A，B兩點處的切線，l1，l2相交于點C．設(shè)AF＝a，BF＝b，則CF＝()A．B．C．

15、D．例8設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，線段PQ是過左焦點F且不與x垂直的焦點弦．若在左準(zhǔn)線上存在點R，使△PQR為正三角形，求橢圓的離心率e的取值范圍，并用e表示直線PQ的斜率．ABPOxy(第9題)F1F2例9如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．已知(1，e)和(e，)都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P．(i)若AF1－BF2＝，求直線AF1的斜率；(

16、ii)求證：PF1＋PF2是定值．第5頁共5頁2012蘇省數(shù)學(xué)夏令營競賽講座xyOPB1B2A1A2例10已知拋物線及點P(1，1)，過點P的兩條不重合的直線、與這拋物線分別交于點、，、（如圖），、的斜率分別為、．證明：＝成立的充要條件為＋＝0．例11過橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點A(－a，0)作直線l交橢圓于Q，交y軸于R，過原點O作直線l的平行線l′交橢圓于P．證明：

17、AQ

18、，

19、OP

20、，

21、AR

22、成等比數(shù)列．（2009清華自主招生考題）例12設(shè)直線L：y＝kx＋m(其中k，m為整數(shù))，與橢圓＋＝1交于不同兩點A、B，與雙曲線－＝1交于

23、不同兩點C、D，問是否存在直線L，使向量＋＝．若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，說明理由．例13已知拋物線上的兩個動點，其中且.線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值．（2010全國聯(lián)賽）例14NMPAxyBCO如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N分別是橢圓＋＝1的頂點，過坐標(biāo)原點直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限．過P作x軸的垂線，垂足為C．連結(jié)AC并延長交橢圓于點B．設(shè)直線PA的斜率為k．對任意k＞0，求證：PA⊥PB.（2010江蘇高考）第5頁共5頁2012蘇省數(shù)學(xué)夏令營競賽講座例15設(shè)M是橢圓C：＋＝1上的一點

24、，P、Q、T分別為點M關(guān)于y軸、原點、x軸的對稱點，N為橢圓C上異于M的點，且MN⊥MQ，QN與PT的交點為E，當(dāng)M沿橢圓C運動時，求動點E的軌跡方程．例16（1）已知拋物線C：y2＝4x．過拋物線上點M(4，4)的直線l1，l2互相垂直，且與拋物線C分別交于點A，B（異于點M）．求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標(biāo)．答案：（8，－4）（2）直線x－2y－1＝0與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，C為拋物線上的一點，∠ACB＝90°，則點C的坐標(biāo)為．例17（1）已知拋物線C：y2＝4x．過拋物線上點M(4，4)的不重合的直線l1，l2關(guān)于直

25、線x＝4對稱，且與拋物線C分別交于點A，B（異于點M）．求證：直線AB的斜率為定值．（2）A，B，C，D在拋物線x2＝4y上，A，D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．過D作拋物線的切線，B