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1、2012蘇省數(shù)學(xué)夏令營(yíng)競(jìng)賽講座解析幾何一、知識(shí)要點(diǎn)和基本方法1．直線系方程：共點(diǎn)直線系、平行直線系．2．圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程（θ為參數(shù)）．3．圓的切線、弦、切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程．4．過(guò)交點(diǎn)的圓錐曲線系：．5．焦半徑和焦點(diǎn)弦的兩種形式．6．已知切點(diǎn)的切線方程：橢圓、雙曲線、拋物線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為、，。二、例題選講例1平面上整點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線y＝x＋的距離中的最小值是()(A)(B)(C)(D)例2若直線系C：xcost＋(y＋1)sint＝2中的三條直線圍成正三角形區(qū)域D，則區(qū)
2、域D的面積為．例3在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集M＝{(x，y
3、α，β∈R)}．求點(diǎn)集M所覆蓋的平面圖形的面積．例4關(guān)于x、y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，方程C表示圓；（2）若圓C與直線l：x＋2y－4＝0相交于M、N兩點(diǎn)，且
4、MN
5、＝，求m的值；（3）若圓C與直線l：x＋2y－4＝0相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為原點(diǎn)），求此時(shí)m的值．例5如圖，P是拋物線y2＝2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B，C在y軸上，圓(x－1)2＋y2＝1內(nèi)切于△PBC，求△PBC面積的最小值．第5頁(yè)共5頁(yè)2012蘇省數(shù)學(xué)夏令營(yíng)競(jìng)賽講座例6（1）
6、給定A（－2，2），已知B是橢圓＋＝1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，當(dāng)
7、AB
8、＋
9、BF
10、取最小值時(shí)，求B的坐標(biāo)．（2）給定A（－2，2），已知B是橢圓＋＝1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，求
11、AB
12、＋
13、BF
14、的最小值和最大值．例7（1）已知拋物線C：y2＝2px．AB為過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)．若∠OFA＝120°，求tan∠AMB．（2）點(diǎn)F為拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，l1，l2分別是該拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線，l1，l2相交于點(diǎn)C．設(shè)AF＝a，BF＝b，則CF＝()A．B．C．
15、D．例8設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，線段PQ是過(guò)左焦點(diǎn)F且不與x垂直的焦點(diǎn)弦．若在左準(zhǔn)線上存在點(diǎn)R，使△PQR為正三角形，求橢圓的離心率e的取值范圍，并用e表示直線PQ的斜率．ABPOxy(第9題)F1F2例9如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．已知(1，e)和(e，)都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點(diǎn)P．(i)若AF1－BF2＝，求直線AF1的斜率；(
16、ii)求證：PF1＋PF2是定值．第5頁(yè)共5頁(yè)2012蘇省數(shù)學(xué)夏令營(yíng)競(jìng)賽講座xyOPB1B2A1A2例10已知拋物線及點(diǎn)P(1，1)，過(guò)點(diǎn)P的兩條不重合的直線、與這拋物線分別交于點(diǎn)、，、（如圖），、的斜率分別為、．證明：＝成立的充要條件為＋＝0．例11過(guò)橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A(－a，0)作直線l交橢圓于Q，交y軸于R，過(guò)原點(diǎn)O作直線l的平行線l′交橢圓于P．證明：
17、AQ
18、，
19、OP
20、，
21、AR
22、成等比數(shù)列．（2009清華自主招生考題）例12設(shè)直線L：y＝kx＋m(其中k，m為整數(shù))，與橢圓＋＝1交于不同兩點(diǎn)A、B，與雙曲線－＝1交于
23、不同兩點(diǎn)C、D，問(wèn)是否存在直線L，使向量＋＝．若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，說(shuō)明理由．例13已知拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中且.線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值．（2010全國(guó)聯(lián)賽）例14NMPAxyBCO如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N分別是橢圓＋＝1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限．過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C．連結(jié)AC并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B．設(shè)直線PA的斜率為k．對(duì)任意k＞0，求證：PA⊥PB.（2010江蘇高考）第5頁(yè)共5頁(yè)2012蘇省數(shù)學(xué)夏令營(yíng)競(jìng)賽講座例15設(shè)M是橢圓C：＋＝1上的一點(diǎn)
24、，P、Q、T分別為點(diǎn)M關(guān)于y軸、原點(diǎn)、x軸的對(duì)稱點(diǎn)，N為橢圓C上異于M的點(diǎn)，且MN⊥MQ，QN與PT的交點(diǎn)為E，當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程．例16（1）已知拋物線C：y2＝4x．過(guò)拋物線上點(diǎn)M(4，4)的直線l1，l2互相垂直，且與拋物線C分別交于點(diǎn)A，B（異于點(diǎn)M）．求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．答案：（8，－4）（2）直線x－2y－1＝0與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，C為拋物線上的一點(diǎn)，∠ACB＝90°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．例17（1）已知拋物線C：y2＝4x．過(guò)拋物線上點(diǎn)M(4，4)的不重合的直線l1，l2關(guān)于直
25、線x＝4對(duì)稱，且與拋物線C分別交于點(diǎn)A，B（異于點(diǎn)M）．求證：直線AB的斜率為定值．（2）A，B，C，D在拋物線x2＝4y上，A，D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．過(guò)D作拋物線的切線，B
