立方插值簡介

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1、三次樣條插值(CubicSplineInterpolation)及代碼實現(xiàn)(C語言)樣條插值是一種工業(yè)設(shè)計中常用的、得到平滑曲線的一種插值方法,三次樣條又是其中用的較為廣泛的一種。本篇介紹力求用容易理解的方式,介紹一下三次樣條插值的原理,并附C語言的實現(xiàn)代碼。1.三次樣條曲線原理假設(shè)有以下節(jié)點??1.1定義樣條曲線?是一個分段定義的公式。給定n+1個數(shù)據(jù)點,共有n個區(qū)間,三次樣條方程滿足以下條件:a.在每個分段區(qū)間?(i=0,1,…,n-1,x遞增),??都是一個三次多項式。b.滿足?(i=0,1,…,n)c.??,導(dǎo)數(shù)?,二階導(dǎo)數(shù)?在[a,b]區(qū)間都是連續(xù)

2、的,即曲線是光滑的。所以n個三次多項式分段可以寫作:?,i=0,1,…,n-1其中ai,bi,ci,di代表4n個未知系數(shù)。1.2求解已知:a.n+1個數(shù)據(jù)點[xi,yi],?i=0,1,…,nb.每一分段都是三次多項式函數(shù)曲線c.節(jié)點達(dá)到二階連續(xù)d.左右兩端點處特性(自然邊界,固定邊界,非節(jié)點邊界)根據(jù)定點,求出每段樣條曲線方程中的系數(shù),即可得到每段曲線的具體表達(dá)式。?插值和連續(xù)性:,其中i=0,1,…,n-1微分連續(xù)性:?,其中i=0,1,…,n-2樣條曲線的微分式:?將步長?帶入樣條曲線的條件:a.由?(i=0,1,…,n-1)推出?b.由?(i=0,

3、1,…,n-1)推出c.由??(i=0,1,…,n-2)推出由此可得:d.由??(i=0,1,…,n-2)推出?設(shè)?,則a.??可寫為:?,推出b.將ci,di帶入??可得:?c.將bi,ci,di帶入?(i=0,1,…,n-2)可得:?端點條件由i的取值范圍可知,共有n-1個公式,但卻有n+1個未知量m。要想求解該方程組,還需另外兩個式子。所以需要對兩端點x0和xn的微分加些限制。選擇不是唯一的,3種比較常用的限制如下。a.自由邊界(Natural)首尾兩端沒有受到任何讓它們彎曲的力,即?。具體表示為?和?則要求解的方程組可寫為:??b.?固定邊界(Cla

4、mped)首尾兩端點的微分值是被指定的,這里分別定為A和B。則可以推出將上述兩個公式帶入方程組,新的方程組左側(cè)為c.非節(jié)點邊界(Not-A-Knot)指定樣條曲線的三次微分匹配,即根據(jù)?和?,則上述條件變?yōu)樾碌姆匠探M系數(shù)矩陣可寫為:??右下圖可以看出不同的端點邊界對樣條曲線的影響:?1.3算法總結(jié)假定有n+1個數(shù)據(jù)節(jié)點a.計算步長?(i=0,1,…,n-1)b.將數(shù)據(jù)節(jié)點和指定的首位端點條件帶入矩陣方程c.解矩陣方程,求得二次微分值。該矩陣為三對角矩陣,具體求法參見我的上篇文章:三對角矩陣的求解。d.計算樣條曲線的系數(shù):其中i=0,1,…,n-1e.在每個子

5、區(qū)間?中,創(chuàng)建方程

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