《數(shù)學(xué)建模》PPT課件

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1、數(shù)學(xué)模型MathematicalModel（7）優(yōu)化模型人們在解決實(shí)際問題時(shí)往往會(huì)提出若干方案，通過各方面的信息論證，從中提取最佳方案。我們關(guān)心的是如何從多個(gè)方案中科學(xué)合理地提取出最佳方案。優(yōu)化問題無所不在，它包含兩個(gè)方面的內(nèi)容：（1）建立數(shù)學(xué)模型。模型中的數(shù)學(xué)關(guān)系式反映了最優(yōu)化問題所要達(dá)到的目標(biāo)和各種約束條件。（2）求解。數(shù)學(xué)模型建好以后，選擇合理的最優(yōu)化方法進(jìn)行求解。優(yōu)化問題包含有多個(gè)分支，如線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃等。按變量的多少可分為單變量和多變量優(yōu)化問題優(yōu)化模型一、單變量優(yōu)化問題只有一個(gè)變量的最小(大)化問

2、題，即一維搜索問題。該問題在某些情況下可以直接用于求解實(shí)際問題，但大多數(shù)情況下它是作為多變量最優(yōu)化方法的基礎(chǔ)在應(yīng)用，因?yàn)檫M(jìn)行多變量最優(yōu)化要用到一維搜索法。該問題的數(shù)學(xué)模型為：其中，x、x1和x2為標(biāo)量，f(x)為函數(shù)，返回標(biāo)量。優(yōu)化模型該問題的搜索過程為：其中xk為本次迭代的值，d為搜索方向，α為搜索方向上的步長參數(shù)。所以一維搜索就是要利用本次迭代的信息來構(gòu)造下次迭代的條件。求解單變量最優(yōu)化問題的方法有很多種，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)是否需要求導(dǎo)，可以分為兩類，即直接法和間接法。直接法不需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，而間接法則需要用到目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。優(yōu)化模型1、

3、直接法常用的一維直接法主要有消去法和近似法兩種：（1）消去法該法利用單峰函數(shù)具有的消去性質(zhì)進(jìn)行反復(fù)迭代，逐漸消去不包含極小點(diǎn)的區(qū)間，縮小搜索區(qū)間，直到搜索區(qū)間縮小到給定允許精度為止。一種典型的消去法為黃金分割法(GoldenSectionSearch）。黃金分割法的基本思想是在單峰區(qū)間內(nèi)適當(dāng)插入兩點(diǎn)，將區(qū)間分為三段，然后通過比較這兩點(diǎn)函數(shù)值的大小來確定是刪去最左段還是最右段，或同時(shí)刪去左右兩段保留中間段。重復(fù)該過程使區(qū)間無限縮小。插入點(diǎn)的位置放在區(qū)間的黃金分割點(diǎn)及其對(duì)稱點(diǎn)上，所以該法稱為黃金分割法。該法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡單，效率較高，穩(wěn)定性好。優(yōu)化

4、模型（2）多項(xiàng)式近似法該法用于目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜的情況。此時(shí)尋找一個(gè)與它近似的函數(shù)代替目標(biāo)函數(shù)，并用近似函數(shù)的極小點(diǎn)作為原函數(shù)極小點(diǎn)的近似。常用的近似函數(shù)為二次和三次多項(xiàng)式。二次內(nèi)插涉及到形如下式的二次函數(shù)數(shù)據(jù)擬合問題：其中步長極值為：優(yōu)化模型然后只要利用三個(gè)梯度或函數(shù)方程組就可以確定系數(shù)a和b，從而可以確定α*。得到該值以后，進(jìn)行搜索區(qū)間的收縮。在縮短的新區(qū)間中，重新安排三點(diǎn)求出下一次的近似極小點(diǎn)α*，如此迭代下去，直到滿足終止準(zhǔn)則為止。其迭代公式為：其中優(yōu)化模型2、間接法間接法需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算速度很快。常見的間接法包括牛頓切

5、線法、對(duì)分法、割線法和三次插值多項(xiàng)式近似法等。用得較多的是三次插值法。三次插值的基本思想與二次插值的一致，是用四個(gè)已知點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)三次多項(xiàng)式P3(x)，用它逼近函數(shù)f(x)，以P3(x)的極小點(diǎn)作為f(x)的近似極小點(diǎn)。一般講，三次插值法比二次插值法的收斂速度要快些，但每次迭代需要計(jì)算兩個(gè)導(dǎo)數(shù)值。優(yōu)化模型三次插值法的迭代公式為其中如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)容易求得，一般首先考慮使用三次插值法，因?yàn)樗哂休^高效率。對(duì)于只需要計(jì)算函數(shù)值的方法中，二次插值法是一個(gè)很好的方法，它的收斂速度較快，尤其在極小點(diǎn)所在區(qū)間較小時(shí)尤其如此。黃金分割法則是一種十分穩(wěn)定的方法，并且

6、計(jì)算簡單。優(yōu)化模型3、單變量優(yōu)化的Matlab實(shí)現(xiàn)fminbnd返回固定區(qū)間內(nèi)單變量函數(shù)的最小值x=fminbnd(fun,x1,x2)返回區(qū)間{x1，x2}上fun參數(shù)描述的標(biāo)量函數(shù)的最小值xx=fminbnd(fun,x1,x2,options)用options參數(shù)指定的優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行最小化x=fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,...)提供另外參數(shù)P1,P2等,傳輸給目標(biāo)函數(shù)fun。如果沒有設(shè)置options選項(xiàng)，則令options=[]優(yōu)化模型注(1)Fun：需要最小化的目標(biāo)函數(shù)。fun函數(shù)需要輸入自變量x，返

7、回x處的目標(biāo)函數(shù)值f。如x=fminbnd(@sin,0,5)同樣，fun參數(shù)可以是一個(gè)包含函數(shù)名的字符串。對(duì)應(yīng)的函數(shù)可以是M文件、內(nèi)部函數(shù)或MEX文件。上述問題最小值情況可以圖形化說明x=0:pi/100:5;y=sin(x);plot(x,y)優(yōu)化模型注(2)Options：優(yōu)化參數(shù)選項(xiàng)?？梢杂胦ptimset函數(shù)設(shè)置或改變這些參數(shù)的值。options參數(shù)有以下幾個(gè)選項(xiàng)：Display–顯示的水平。選擇‘off’，不顯示輸出；選擇‘iter’，顯示每一步迭代過程的輸出；選擇‘final’，顯示最終結(jié)果。MaxFunEvals–函數(shù)評(píng)價(jià)的最大

8、允許次數(shù)。MaxIter–最大允許迭代次數(shù)。TolX–x處的終止容限。優(yōu)化模型例：對(duì)邊長為3m的正方形鐵板，在四個(gè)角處剪去相等的正方形以制成方形無蓋水